《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册冀教版》

7. [2024张家口模拟] 某厂商销售一种新型电子产品，每件的制造成本为18元，试销过程中发现，每月销量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y = -2x + 100.
(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式.(利润 = 售价 - 制造成本)
(2)当销售单价为多少元时，该厂商每月能够获得350万元的利润？
(3)当销售单价为多少元时，该厂商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？

答案： 【解】
(1)由题意，得z = (x - 18)y = (x - 18)( - 2x + 100)= - 2x² + 136x - 1800，
∴每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式为z = - 2x² + 136x - 1800.
(2)由z = 350，得350 = - 2x² + 136x - 1800，
解得x = 25或x = 43，
∴当销售单价为25元或43元时，每月能获得350万元的利润.
(3)由
(1)得z = - 2x² + 136x - 1800 = - 2(x - 34)² + 512，
∴当销售单价为34元时，该厂商每月能够获得最大利润，最大利润为512万元.

8. 某商家购进一批文创产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售. 调查发现，线下的月销量y(单位：件)与线下售价x(单位：元/件，12≤x＜24)满足一次函数的关系，部分数据如下表：

(1)求y与x的函数关系式.
(2)若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销售量固定为400件.
①当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润.
②若线下月利润与线上月利润的差不低于800元，直接写出x的取值范围.

答案： 【解】
(1)设y与x的函数关系式为y = kx + b，由表格信息可得
{12k + b = 1200，14k + b = 1000}，解得{k = - 100，b = 2400}.
∴y与x的函数关系式为y = - 100x + 2400(12 ≤ x ＜ 24).
(2)设线下月利润为w1元，线上月利润为w2元，根据题意，得
w1 = y(x - 10)= - 100x² + 3400x - 24000，
w2 = 400(x - 2 - 10)= 400x - 4800.
①设线上和线下月利润总和为w元，
则w = w1 + w2 = - 100x² + 3800x - 28800 = - 100(x - 19)² + 7300.
∵ - 100 ＜ 0，12 ≤ x ＜ 24，
∴当x = 19时，w最大，最大值为7300.
答：当x为19时，线上和线下月利润总和达到最大，最大利润为7300元.
②12 ≤ x ≤ 20. 【点拨】设线下月利润与线上月利润的差为W元，
则W = w1 - w2 = - 100x² + 3400x - 24000 - (400x - 4800)= - 100x² + 3000x - 19200，
令W = 800，则800 = - 100x² + 3000x - 19200，
解得x1 = 10，x2 = 20，
∴易得当10 ≤ x ≤ 20时，W的值不小于800.
又
∵12 ≤ x ＜ 24，
∴线下月利润与线上月利润的差不低于800元时，x的取值范围是12 ≤ x ≤ 20.