《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册冀教版》

1. 在平面直角坐标系中，抛物线$y = x^{2}-1$与坐标轴交点的个数是（ ）
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0

答案： A

2. [2024廊坊期末] 若关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2x - m = 0$没有实数根，则抛物线$y = x^{2}+mx + 1$的对称轴（ ）
A. 在$y$轴处
B. 在$y$轴右侧且平行于$y$轴
C. 在$y$轴左侧且平行于$y$轴
D. 无法确定位置

答案： B 【点拨】
∵关于x的一元二次方程$x^{2}-2x - m = 0$没有实数根，
∴$(-2)^{2}-4×1×(-m)＜0$，
∴$m＜-1$。
∵抛物线$y = x^{2}+mx + 1$的对称轴为直线$x = -\frac{m}{2}$，$-\frac{m}{2}＞\frac{1}{2}$，
∴对称轴在y轴右侧且平行于y轴。

3. 如图，抛物线$y = ax^{2}+bx + c$与$x$轴的一个交点为(3,0)，对称轴为直线$x = 1$，对于整个抛物线来说，当$y\leqslant0$时，$x$的取值范围是（ ）
A. $0\lt x\leqslant3$ B. $-2\leqslant x\leqslant3$
C. $-1\leqslant x\leqslant3$ D. $x\leqslant -1$或$x\geqslant3$
　　　

答案： C 【点拨】因为抛物线的对称轴为直线$x = 1$，与x轴的一个交点为$(3,0)$，所以根据抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点为$(-1,0)$，因为抛物线的开口向上，所以当$y≤0$时，$-1≤x≤3$。故选C。

4. 下表是一些二次函数$y = x^{2}+3x - 5$的自变量$x$与函数值$y$的对应值：
　
则方程$x^{2}+3x - 5 = 0$的一个近似根是（ ）
A. 1
B. 1.1
C. 1.2
D. 1.3

答案： C

5. 如图，在平面直角坐标系$xOy$中，抛物线$y = ax^{2}+bx + c$的对称轴为直线$x = 2$，与$x$轴的一个交点为(1,0)，则关于$x$的方程$ax^{2}+bx + c = 0$的解为____________.
　　　

答案： $x_{1}=1$，$x_{2}=3$

6. 已知抛物线$y = x^{2}-2x - 8$.
(1)试说明抛物线与$x$轴一定有两个交点，并求出交点坐标；
(2)若该抛物线与$x$轴的两个交点分别为$A$，$B$（$A$在$B$的左边），且它的顶点为$P$，求$S_{\triangle ABP}$的值.

答案： 【解】
(1)解方程$x^{2}-2x - 8 = 0$，得$x_{1}=-2$，$x_{2}=4$。故抛物线$y = x^{2}-2x - 8$与x轴一定有两个交点，且交点坐标为$(-2,0)$，$(4,0)$。
(2)由
(1)得$A(-2,0)$，$B(4,0)$，故$AB = 6$。
由$y = x^{2}-2x - 8 = x^{2}-2x + 1 - 9=(x - 1)^{2}-9$，得P点坐标为$(1,-9)$。过P作$PC⊥x$轴于C，则$PC = 9$，
∴$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}AB\cdot PC=\frac{1}{2}×6×9 = 27$。

7. [2024·唐山期末] 把横、纵坐标都是整数的点叫做整点. 抛物线$y = -2x^{2}+8x - 6$与$x$轴的交点为$A$，$B$，抛物线在点$A$，$B$之间的部分与线段$AB$所围成的区域内（包括边界）共有整点（ ）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个

答案：
D 【点拨】不妨设点A在点B的左边，令$y = 0$，则$-2x^{2}+8x - 6 = 0$，解得$x = 1$或$x = 3$，即点A，B的坐标分别为$(1,0)$，$(3,0)$。由$y=-2x^{2}+8x - 6=-2(x - 2)^{2}+2$，得抛物线的顶点坐标为$(2,2)$，则该抛物线如图所示，故抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)的整点为点A，B，$(2,0)$，$(2,1)$，$(2,2)$，共5个。

8. [情境题_过程性学习] 对于题目：“如果函数$y = 2ax^{2}+(a + 2)x + 1$的图像与$x$轴有唯一公共点，求$a$的值.”甲的解法如下：令$y = 0$，则方程$2ax^{2}+(a + 2)x + 1 = 0$有两个相等的实数根，$\therefore(a + 2)^{2}-8a = 0$，解得$a_{1}=a_{2}=2$，$\therefore a$的值为2. 而乙说：“甲考虑得不完整，应该还有一种情况.”下列判断正确的是（ ）
A. 乙说得不对，$a$的值为2
B. 甲求得的结果不对，$a$的值为 -2
C. 乙说得对，$a$还有一个值为0
D. 两个人都不对，$a$应有3个不同的值

答案： C 【点拨】乙说得对，还有一种情况：当$2a = 0$，即$a = 0$时，函数为$y = 2x + 1$，该函数的图像与x轴的交点为$(-\frac{1}{2},0)$。此时也满足题意。

9. [2024·邢台校级模拟] 函数$y = -x^{2}+6x - 5$的图像与$x$轴交于$A$，$B$两点（$A$在$B$的左边），把$x$轴下方的图像沿$x$轴翻折到$x$轴上方，形成一个新的图像，有一条平行于$x$轴的直线$y = a$，它与新图像的交点为$P$，则以下说法正确的是（ ）
A. 当$a = 5$时，则满足条件的$P$有三个
B. 当$a\lt4$时，则满足条件的$P$有四个
C. 当$a\gt5$时，则满足条件的$P$有两个
D. 当$a = 4$时，则满足条件的$P$只有一个

答案：
C 【点拨】令$y = 0$，则$-x^{2}+6x - 5 = 0$，
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=5$，
∴$A(1,0)$，$B(5,0)$。
∵$y=-x^{2}+6x - 5=-(x - 3)^{2}+4$。
∴图像的顶点坐标为$(3,4)$。
∴函数$y=-x^{2}+6x - 5$的图像如图①所示。

翻折后的图像如图②所示。

由图②可知，当$a＜0$时，直线$y = a$与图像无交点，当$a = 0$或$a＞4$时，直线$y = a$与图像有两个交点，当$0＜a＜4$时，直线$y = a$与图像有四个交点，当$a = 4$时，直线$y = a$与图像有三个交点。