《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册冀教版》

8. 如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E为$\overset{\frown}{BC}$上一点，F为弦DC延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G，连接AE交CD于点P，FE = FP.
(1)求证：FE是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为8，sin F = $\frac{3}{5}$，求BG的长.

答案：

(1)[证明]如图,连接OE.
∵OA=OE,
∴∠A=∠AEO.
∵CD⊥AB,
∴∠AHP=90°,
　　　　　　　　　　　　　　　　
∵FE=FP,
∴∠FPE=∠FEP.
∵∠APH=∠FPE,
∴∠A+∠FPE=∠A+∠APH=90°,
∴∠FEP+∠AEO=90°=∠FEO.
∴OE⊥EF.又
∵OE为⊙O的半径,
∴FE是⊙O的切线.
(2)[解]
∵∠FHG=∠OEG=90°,
　
∴∠G+∠EOG=90°=∠G+∠F.
∴∠F=∠EOG.
　
∴sin∠EOG=$\frac{EG}{OG}$=sinF=$\frac{3}{5}$.
　
∴设EG=3x,则OG=5x,
　
∴OE=$\sqrt{OG^{2}-EG^{2}}$=$\sqrt{25x^{2}-9x^{2}}$=4x.
　
∵OE=8,
∴4x=8,解得x=2.
∴OG=10.
　
∴BG=OG−OB=10−8=2.

9. 如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E.
(1)求证：DC = DE；
(2)若tan∠CAB = $\frac{1}{2}$，AB = 3，求BD的长.

答案：

(1)[证明]连接OC,如图,
∵CD与⊙O相切于点C,
∴∠OCD=90°.
∴∠ACO+∠DCE=90°.
　　　　　　　　　　　　　　　　
∵ED⊥AD,
∴∠EDA=90°.
∴∠EAD+∠E=90°.
∵OC=OA,
∴∠ACO=∠EAD,
∴∠DCE=∠E.
∴DC=DE.
(2)[解]设BD=x,则AD=AB+BD=3+x,OD=OB+BD=1.5+x.在Rt△EAD中,
∵tan∠CAB=$\frac{1}{2}$,
　
∴ED=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$(3+x).
　
∴DC=DE=$\frac{1}{2}$(3+x).
　　在Rt△OCD中,OC²+CD²=DO²,
　　则1.5²+[$\frac{1}{2}$(3+x)]²=(1.5+x)²,
　解得x₁=−3(舍去),x₂=1,
∴BD=1.

10. [2024北京海淀区模拟] 如图，AB，CD均为⊙O的直径，点E在$\overset{\frown}{BD}$上，连接AE，交CD于点F，连接DE，AD. ∠EDB + ∠EAD = 45°，点G在BD的延长线上，AB = AG.
(1)求证：AG与⊙O相切；
(2)若BG = 4$\sqrt{5}$，tan∠EDB = $\frac{1}{3}$，求EF的长.

答案：

(1)[证明]
∵∠EDB+∠EAD=45°,∠EDB=∠EAB,
∴∠EAB+∠EAD=45°=∠BAD.
　
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°.
　　又
∵AB=AG,
∴∠GAD=∠BAD=45°.
　
∴∠GAB=90°.
∴AB⊥AG.
　　又
∵OA为⊙O的半径，
∴AG与⊙O相切.
(2)[解]如图,连接BE,
　　由
(1)易知BD=$\frac{1}{2}$BG=2$\sqrt{5}$
　
∴易得AB=$\sqrt{2}$BD=2$\sqrt{10}$.
∴OA=$\sqrt{10}$
　
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BEA=90°.
　
∴$\frac{BE}{AE}$=tan∠EAB=tan∠EDB=$\frac{1}{3}$.
∴BE=$\frac{1}{3}$AE.
　在Rt△ABE中,BE²+AE²=AB²,
∴($\frac{1}{3}$AE)²+AE²=(2$\sqrt{10}$)²,
　解得AE=6(负值已舍去).
　　　　　　　　　　　　　　　　
∵∠BOD=2∠BAD=90°,
∴∠AOF=90°.
∴$\frac{OF}{OA}$=tan∠EAB=$\frac{1}{3}$.
∴OF=$\frac{1}{3}$OA=$\frac{\sqrt{10}}{3}$.
∴AF=$\sqrt{OA^{2}+OF^{2}}$=$\frac{10}{3}$.
∴EF=AE−AF=$\frac{8}{3}$.