《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册冀教版》

1. 汽车刹车后行驶的距离s(单位：m)关于行驶时间t(单位：s)的函数表达式是s = 15t - 6t²，汽车刹车后到停下来所用的时间是 ( )
A. 2.5 s
B. 1.5 s
C. 1.25 s
D. 不能确定

答案： C

2. [2024邯郸模拟] 如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26 m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆围，且这三边的长度之和为40 m，有下列结论：①AB的长可以为6 m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192 m²；③菜园ABCD面积的最大值为200 m². 其中正确的是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
　

答案： C 【点拨】设边AD长x m，则边AB长$\frac{40 - x}{2}$m.
当AB = 6 m时，$\frac{40 - x}{2}=6$，解得x = 28，
∵AD的长不能超过26 m，
∴x≤26，
∴x = 28不合题意.
故①不正确.
∵矩形菜园ABCD的面积为192 m²，
∴$x\cdot\frac{40 - x}{2}=192$，
整理，得$x^{2}-40x + 384 = 0$，
解得x = 24或x = 16，故②正确.
设矩形菜园的面积为S m²，根据题意，得$S = x\cdot\frac{40 - x}{2}=-\frac{1}{2}(x^{2}-40x)=-\frac{1}{2}(x - 20)^{2}+200$.
∵$-\frac{1}{2}＜0$，20＜26，
∴当x = 20时，S有最大值，最大值为200，故③正确.
∴②③正确，故选C.

3. 某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据. 有下列结论：①AB = 24 m；②池底所在抛物线的表达式为y = $\frac{1}{45}x² - 5$；③池塘最深处到水面CD的距离为1.8 m；④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的$\frac{1}{4}$. 其中正确的有 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
　

答案： B 【点拨】①观察图形可知，AB = 30 m，故①错误；
②设池底所在抛物线的表达式为y = ax² - 5，
将(15，0)代入，得$a×15^{2}-5 = 0$，解得$a=\frac{1}{45}$，
故抛物线的表达式为$y=\frac{1}{45}x^{2}-5$，故②正确；
③
∵$y=\frac{1}{45}x^{2}-5$，
∴当x = 12时，y = - 1.8，故池塘最深处到水面CD的距离为5 - 1.8 = 3.2(m)，故③错误；
④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为12 m时，将x = 6代入$y=\frac{1}{45}x^{2}-5$，得y = - 4.2，
可知此时最深处到水面的距离为5 - 4.2 = 0.8(m)，为原来的$\frac{1}{4}$，故④正确.

4. 如图，有一块边长为6 cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的四边形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是( )
A. $\sqrt{3}cm²$ B. $\frac{3}{2}\sqrt{3}cm²$ C. $\frac{9}{2}\sqrt{3}cm²$ D. $\frac{27}{2}\sqrt{3}cm²$
　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
C 【点拨】如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC = 60°，AB = BC = AC.
∵折叠后是一个直三棱柱，
∴DO = PE = PF = QG = QH = OK，
四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形，
∴∠ADO = ∠AKO = 90°.
如图，连接AO，在Rt△AOD和Rt△AOK中，$\begin{cases}AO = AO\\OD = OK\end{cases}$，
∴Rt△AOD≌Rt△AOK(HL).
∴∠OAD = ∠OAK = 30°，AD = AK.
∴易得AD = BE = BF = CG = CH = AK.
设OD = x cm，则AO = 2x cm，由勾股定理就可以求出$AD=\sqrt{3}x$ cm，
∴$DE=(6 - 2\sqrt{3}x)$ cm，
∴纸盒侧面积为$3x(6 - 2\sqrt{3}x)=-6\sqrt{3}x^{2}+18x=-\left[6\sqrt{3}(x-\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}+\frac{9\sqrt{3}}{2}\right]$ cm².
∴当$x=\frac{\sqrt{3}}{2}$时，纸盒侧面积最大，最大值为$\frac{9\sqrt{3}}{2}$ cm².

故选C.

5. [2024自贡] 九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图)，其中AB上的EO段围墙空缺. 同学们测得AE = 6.6 m，OE = 1.4 m，OB = 6 m，OC = 5 m，OD = 3 m，班长买来可切断的围栏16 m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是________m².
　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 46.4

6. 新趋势 跨学科综合 用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大称重量. 实验发现：木板承重指数W与木板厚度h(cm)的平方成正比，当h = 3时，W = 3. 选一块厚度为6 cm的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗). 设薄板的厚度为x cm，Q = W厚 - W薄. 当x = ________时，Q = 3W薄.
　　　

答案： 2 【点拨】设W = kh²(k≠0).
∵当h = 3时，W = 3，
∴3 = 9k，解得$k=\frac{1}{3}$.
∴W与h的函数关系式为$W=\frac{1}{3}h^{2}$.
∵薄板的厚度为x cm，
∴厚板的厚度为(6 - x) cm，
∴$Q = W_{厚}-W_{薄}=\frac{1}{3}(6 - x)^{2}-\frac{1}{3}x^{2}=-4x + 12$，
即Q与x的函数关系式为Q = - 4x + 12.
∵$Q = 3W_{薄}$，
∴$-4x + 12 = 3×\frac{1}{3}x^{2}$.
整理得$x^{2}+4x - 12 = 0$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=-6$(不合题意舍去).
故当x = 2时，$Q = 3W_{薄}$.

7. 如图，嘉嘉用计算机编程模拟抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离，当弹跳球以某种特定的角度从点P(0，1)处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线L，其最高点的坐标为(4，5). 弹跳球落到斜面上的点A处反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线L'，且开口大小和方向均与L相同，但最大高度只是抛物线L最大高度的$\frac{2}{5}$.
(1)抛物线L的表达式为______________；
(2)若点A与点P的高度相同，且点A在抛物线L'的对称轴的右侧，则抛物线L'的对称轴为直线________.
　　　

答案：
(1)$y=-\frac{1}{4}(x - 4)^{2}+5$
(2)x = 6 【点拨】
(1)根据已知得抛物线L的顶点是(4，5)，设抛物线L的表达式为$y = a(x - 4)^{2}+5$，把P(0，1)的坐标代入，得$1 = a(0 - 4)^{2}+5$，解得$a=-\frac{1}{4}$，
∴抛物线L的表达式为$y=-\frac{1}{4}(x - 4)^{2}+5$.
(2)当y = 1时，$-\frac{1}{4}(x - 4)^{2}+5 = 1$，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=8$.
∴A(8，1).
∵抛物线开口方向及大小不变，反弹后最大高度为反弹前最大高度的$\frac{2}{5}$，
∴设抛物线L′的表达式为$y=-\frac{1}{4}(x - m)^{2}+2$.把A(8，1)的坐标代入$y=-\frac{1}{4}(x - m)^{2}+2$，得$-\frac{1}{4}(8 - m)^{2}+2 = 1$，
解得m = 6或m = 10(舍去).
∴抛物线L′的对称轴为直线x = 6.