《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册冀教版》

1. 如图，已知二次函数$y = x^{2}+bx + c$的图像与$y$轴交于点$C(0,-6)$，与$x$轴的一个交点是$A(-2,0)$。
(1)求二次函数的表达式，并写出图像的顶点$D$的坐标；
(2)将二次函数的图像沿$x$轴向左平移$\frac{5}{2}$个单位长度，当$y\lt0$时，求$x$的取值范围。

答案： 【解】
(1)把C(0,−6)代入二次函数的表达式,得c=−6,把A(−2,0)代入y=x²+bx−6,得b=−1,
∴二次函数的表达式为y=x²−x−6,
　即y=(x - $\frac{1}{2}$)² - $\frac{25}{4}$
∴图像的顶点D的坐标为($\frac{1}{2}$,－$\frac{25}{4}$)。
(2)将二次函数的图像沿x轴向左平移$\frac{5}{2}$个单位长度所得的新图像对应的函数表达式为y=(x+2)² - $\frac{25}{4}$。
　　令y=0,得(x+2)² - $\frac{25}{4}$=0,解得x₁=$\frac{1}{2}$,x₂=−$\frac{9}{2}$。
∵1＞0,
∴新图像的开口向上,
　
∴当y＜0时,x的取值范围是－$\frac{9}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$。

2. 已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c$，当$x = 1$时，$y$有最大值$8$，其图像的形状、开口方向与抛物线$y = -2x^{2}$相同，则这个二次函数的表达式是（ ）
A. $y = -2x^{2}-x + 3$ B. $y = -2x^{2}+4$
C. $y = -2x^{2}+4x + 8$ D. $y = -2x^{2}+4x + 6$

答案： D

4. 已知抛物线与$x$轴交于$A(1,0)$，$B(-4,0)$两点，与$y$轴交于点$C$，且$AB = BC$，求此抛物线对应的函数表达式。

答案： 【解】由A(1,0),B(−4,0)可知AB = 5,OB = 4。
∵BC = AB,
∴BC = 5。
∴在Rt△BCO中,OC=$\sqrt{BC^{2}-OB^{2}}$=$\sqrt{5^{2}-4^{2}}$=3,
∴点C的坐标为(0,3)或(0,−3)。
设抛物线对应的函数表达式为y = a(x - 1)(x + 4),将点(0,3)的坐标代入,得3 = a(0 - 1)×(0 + 4),解得a =－$\frac{3}{4}$。将点(0,−3)的坐标代入,得−3 = a(0 - 1)×(0 + 4),解得a=$\frac{3}{4}$。
∴该抛物线对应的函数表达式为y =－$\frac{3}{4}$(x - 1)(x + 4)或y=$\frac{3}{4}$(x - 1)(x + 4),即y =－$\frac{3}{4}$x² - $\frac{9}{4}$x + 3或y=$\frac{3}{4}$x² + $\frac{9}{4}$x - 3。
点方法若给出抛物线与x轴的交点坐标或对称轴及抛物线与x轴的两交点间的距离，通常可设交点式求其表达式。

5. 母题 教材P35习题B组T1 把二次函数$y = 2x^{2}$的图像向左平移$1$个单位长度，再向下平移$2$个单位长度，平移后抛物线的表达式是__________。

答案： y = 2x² + 4x