《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册冀教版》

1. 如图，AD，BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD = 2AD = 8，点C是BD延长线上的一点，CD = 2，求证：AC是⊙O的切线.

答案：
【证明】如图，连接AB.
∵AD⊥BD，且BD = 2AD = 8，
∴AB为直径，AD = 4，

∴AB² = 8² + 4² = 80.
∵CD = 2，
∴AC² = 2² + 4² = 20，BC = 2 + 8 = 10.
∴BC² = 10² = 100.
∴AC² + AB² = BC².
∴∠BAC = 90°.
∴AB⊥AC.
∵AB为直径，
∴AC是⊙O的切线.

2. 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，⊙O经过B，C两点，与斜边AB交于点E，连接CO并延长交AB于点M，交⊙O于点D，过点E作EF//CD，交AC于点F.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若BM = 4√2，tan∠BCD = 1/2，请直接写出OM的长.

答案：

(1)【证明】连接OE，BD，如图.
∵AC = BC，∠ACB = 90°，
∴△ABC是等腰直角三角形.
∴∠ABC = 45°.

∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD = 90°.
∴∠DBE = ∠CBD - ∠ABC = 90° - 45° = 45°.
∴∠DOE = 2∠DBE = 2×45° = 90°.
∵EF//CD，
∴∠FEO = ∠DOE = 90°，即OE⊥EF.
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线.
(2)【解】OM的长为$\sqrt{5}$. 【点拨】
∵∠DBC = 90°，tan∠BCD = $\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DB}{BC}$ = $\frac{1}{2}$.
∵BC = AC，
∴$\frac{DB}{AC}$ = $\frac{1}{2}$.
∵∠DBC = ∠ACB = 90°，
∴∠DBC + ∠ACB = 180°.
∴AC//BD.
∴∠DBM = ∠A.
又
∵∠DMB = ∠CMA，
∴△DBM∽△CAM.
∴$\frac{BM}{AM}$ = $\frac{DM}{CM}$ = $\frac{DB}{CA}$ = $\frac{1}{2}$.
∵BM = 4$\sqrt{2}$，
∴AM = 2BM = 8$\sqrt{2}$.
∴AB = AM + BM = 8$\sqrt{2}$ + 4$\sqrt{2}$ = 12$\sqrt{2}$.
在等腰直角三角形ABC中，AC² + BC² = AB²，
∴AC² + AC² = (12$\sqrt{2}$)²，解得AC = 12(负值已舍去)，
∴BC = AC = 12.
∴DB = $\frac{1}{2}$BC = 6.
∴在Rt△BDC中，CD = $\sqrt{BC² + DB²}$ = $\sqrt{12² + 6²}$ = 6$\sqrt{5}$.
∴CO = DO = 3$\sqrt{5}$.
∵$\frac{DM}{CM}$ = $\frac{1}{2}$，
∴CM = 2DM.
∴2DM + DM = CD = 6$\sqrt{5}$.
∴DM = 2$\sqrt{5}$.
∴OM = OD - DM = 3$\sqrt{5}$ - 2$\sqrt{5}$ = $\sqrt{5}$.

3. 如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，CD⊥AB于点D，点E是圆外一点，CA平分∠ECD. 求证：CE是⊙O的切线.

答案： 【证明】连接OC，
∵CA平分∠ECD，
∴∠ECA = ∠DCA.
∵CD⊥AB，
∴∠CAD + ∠DCA = 90°.
∴∠ECA + ∠CAD = 90°.
∵OA = OC，
∴∠CAD = ∠ACO.
∴∠ECA + ∠ACO = 90°，即∠OCE = 90°.
∴OC⊥EC.
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线.

4. [2024眉山] 如图，BE是⊙O的直径，点A在⊙O上，点C在BE的延长线上，∠EAC = ∠ABC，AD平分∠BAE交⊙O于点D，连接DE.
(1)求证：CA是⊙O的切线；
(2)当AC = 8，CE = 4时，求DE的长.

答案：

(1)【证明】如图，连接OA.
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BAE = 90°.

∴∠BAO + ∠OAE = 90°.
∵OA = OB.
∴∠ABC = ∠BAO.
∵∠EAC = ∠ABC，
∴∠EAC = ∠BAO.
∴∠EAC + ∠OAE = 90°，即∠OAC = 90°.
∴OA⊥CA.
∵OA是⊙O的半径，
∴CA是⊙O的切线.
(2)【解】
∵∠ABC = ∠EAC，∠C = ∠C，
∴△EAC∽△ABC.
∴$\frac{AC}{BC}$ = $\frac{CE}{CA}$.
∴$\frac{8}{BC}$ = $\frac{4}{8}$.
∴BC = 16.
∴BE = BC - CE = 12.
如图，连接BD，
∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD = ∠EAD.
∴BD = DE.
∴BD = DE.
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BDE = 90°.
∴DE = BD = $\frac{\sqrt{2}}{2}$BE = 6$\sqrt{2}$.