《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册冀教版》

1. 如图，已知抛物线$y=-x^{2}+bx+c$与$x$轴的一个交点为$A(-1,0)$，对称轴为直线$x = 1$.
(1)求该抛物线的表达式及顶点$C$的坐标；
(2)设对称轴交$x$轴于点$M$，连接$AC$，$CM$，请在$x$轴的正半轴上找一点$D$，使$\triangle ACM$与$\triangle CMD$相似但不全等，求出点$D$的坐标.
　　　　　　　　　　　　　

答案：
【解】
(1)由抛物线$y=-x^{2}+bx+c$的对称轴为直线$x = 1$，可得$\frac{b}{2}=1$，解得$b = 2$，
把$A(-1,0)$的坐标代入$y=-x^{2}+2x+c$，得$-1 - 2 + c = 0$，解得$c = 3$，
$\therefore y=-x^{2}+2x+3$.
$\because y=-x^{2}+2x+3=-(x - 1)^{2}+4$，
$\therefore$顶点$C$的坐标为$(1,4)$.
(2)由$x$轴的正半轴上一点$D$，使$\triangle ACM$与$\triangle CMD$相似但不全等，可知点$D$应在$M$右侧，且$MD$和$CM$是对应边，如图.

由题易知$M(1,0)$.设点$D(m,0)$，则$DM = m - 1$.
易知$CM = 4$，$AM = 2$.
$\because\triangle ACM\sim\triangle CDM$，
$\therefore\frac{AM}{CM}=\frac{CM}{DM}$，即$\frac{2}{4}=\frac{4}{m - 1}$，解得$m = 9$.
$\therefore D(9,0)$.

2. [2024西安雁塔区校级模拟] 如图，已知抛物线$L:y = ax^{2}-5ax + c(a\neq0)$与$x$轴交于$A(1,0)$与$B$点，与$y$轴交于点$C(0,4)$，抛物线$L'$与$L$关于原点成中心对称，且$A$的对应点为$A'$.
(1)求抛物线$L$的表达式，并直接写出$L'$的表达式；
(2)在$x$轴上方的抛物线$L$上有一点$M$，点$M$在抛物线$L'$上的对应点为$M'$，若四边形$MAM'A'$的面积为20，请求出点$M$的坐标.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 【解】
(1)$\because$抛物线$L$与$x$轴交于$A(1,0)$与$B$点，与$y$轴交于点$C(0,4)$，
$\therefore\begin{cases}a - 5a + c = 0,\\c = 4,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1,\\c = 4.\end{cases}$
$\therefore$抛物线$L$的表达式为$y = x^{2}-5x + 4$.
抛物线$L'$的表达式为$y=-x^{2}-5x - 4$.
(2)$\because A(1,0)$，$\therefore A'(-1,0)$，$\therefore AA' = 2$.
设$M(x,x^{2}-5x + 4)$，则$x^{2}-5x + 4＞0$.
易知$S_{四边形AMA'A'}=\frac{1}{2}AA'\cdot2(x^{2}-5x + 4)=20$，
$\therefore x^{2}-5x + 4 = 10$.
$\therefore x = 6$或$x = -1$.
$\therefore M(-1,10)$或$(6,10)$.

3. 如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”. 已知点$A$，$B$，$C$，$D$分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的表达式为$y=\frac{1}{2}x^{2}-2x - 6$，$AB$为半圆的直径，$M$为圆心，则这个“果圆”被$y$轴截得的“弦”$CD$的长为_______.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
$2\sqrt{3}+6$【点拨】如图，连接$MC$.

$\because$抛物线的表达式为$y=\frac{1}{2}x^{2}-2x - 6$，
$\therefore$点$D$的坐标为$(0,-6)$.
$\therefore OD$的长为$6$.
设$y = 0$，则$0=\frac{1}{2}x^{2}-2x - 6$，
解得$x = -2$或$x = 6$.
$\therefore A(-2,0)$，$B(6,0)$.
$\therefore OA = 2$，$OB = 6$，$M(2,0)$，$\therefore AB = 8$，$OM = 2$.
$\therefore MC=\frac{1}{2}AB = 4$.
在$Rt\triangle COM$中，$OC=\sqrt{MC^{2}-OM^{2}}=2\sqrt{3}$，
$\therefore CD = CO + OD = 2\sqrt{3}+6$.