《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册冀教版》

7. [新趋势 跨学科综合] 欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿. ”如图所示，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径为4 cm，中间有边长为1 cm的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是________.

答案： $\frac{1}{4\pi}$

8. 在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下图是“摸到白球”的频率折线统计图.
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近________（精确到0.1），假如你摸一次，你摸到白球的概率为________（精确到0.1）.
（2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个.
（3）在（2）的条件下，如果要使摸到白球的概率为$\frac{3}{5}$，需要往盒子里再放入多少个白球.

答案： 【解】
(1)0.5；0.5
(2)$40×0.5 = 20$(个)，$40 - 20 = 20$(个).
答：估算盒子里白、黑两种颜色的球各有20个.
(3)设需要往盒子里再放入$x$个白球.
根据题意，得$\frac{20 + x}{40 + x}=\frac{3}{5}$，解得$x = 10$.
经检验，$x = 10$是分式方程的解.
答：需要往盒子里再放入10个白球.

9. 在一个不透明的口袋中装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复. 下表是试验中的一组统计数据：

（1）当n很大时，摸到白球的频率将会接近多少?（精确到0.1）
（2）从中任意取一球，摸到白球的概率约是多少?摸到黑球的概率约是多少?
（3）试估计口袋中白、黑两种颜色的球各有多少个.
（4）解决了上面的问题，小明同学顿悟，过去一个悬而未决的问题有办法了. 这个问题是：在一个不透明的口袋中装有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，如何估计白球的个数（可以借助其他工具及用品）? 请你应用统计和概率的思想与方法写出解决这个问题的主要步骤及估算结果.

答案： 【解】
(1)当$n$很大时，摸到白球的频率将会接近0.6.
(2)摸到白球的概率约为0.6，摸到黑球的概率约为$1 - 0.6 = 0.4$.
(3)$20×0.6 = 12$(个)，$20 - 12 = 8$(个)，
所以估计口袋中的白球有12个，黑球有8个.
(4)①先从不透明的口袋里摸出$a$个白球，都涂上黑色，然后放回口袋中，搅匀；②从搅匀后的球中随机摸出一个球并记录下颜色，再把它放回袋中，不断重复，记摸球的总次数为$n$，其中摸出黑球的次数为$b$；③当$n$足够大时，根据用频率估计概率的方法可得出白球的个数约为$\frac{an}{b}$.(答案不唯一)