《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册冀教版》

10. [2024衡水校级月考] 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$，$B$ 两点(点 $A$ 在点 $B$ 的左侧)，与 $y$ 轴交于点 $C(0，-3)$，顶点为 $D$，点 $B$ 的坐标为(3，0). 则抛物线的表达式为__________；顶点 $D$ 的坐标为_______；连接 $AC$，$BC$，则 $\tan\angle ACB$ 的值为________.
　　　　　　　　　　　　　　

答案： $y = x^{2} - 2x - 3$；$(1,-4)$；$2$ 【点拨】将$(3,0)$，$(0,-3)$代入$y = x^{2} + bx + c$，得$\begin{cases}0 = 9 + 3b + c, \\ -3 = c, \end{cases}$解得$\begin{cases}b = -2, \\ c = -3. \end{cases}$
$\therefore$抛物线的表达式为$y = x^{2} - 2x - 3$. $\because y = x^{2} - 2x - 3 = (x - 1)^{2} - 4$. $\therefore$抛物线的对称轴为直线$x = 1$，顶点$D$的坐标为$(1,-4)$.
$\because$点$B$的坐标为$(3,0)$，点$A$与点$B$关于直线$x = 1$对称，
$\therefore$点$A$的坐标为$(-1,0)$，$\therefore AB = 4$.
在$Rt\triangle AOC$中，由勾股定理得$AC = \sqrt{|-1|^{2} + |-3|^{2}} = \sqrt{10}$.
在$Rt\triangle BOC$中，由勾股定理得$BC = \sqrt{3^{2} + |-3|^{2}} = 3\sqrt{2}$. 过点$B$作$BE\perp AC$于点$E$.
$\because S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AC\cdot BE = \frac{1}{2}AB\cdot OC$，$OC = 3$，
$\therefore BE = \frac{AB\cdot OC}{AC} = \frac{6}{5}\sqrt{10}$.
在$Rt\triangle BCE$中，由勾股定理得$EC = \sqrt{BC^{2} - BE^{2}} = \frac{3}{5}\sqrt{10}$，$\therefore \tan\angle ACB = \frac{BE}{EC} = 2$.

11. 如图，抛物线 $y = ax^2 + bx(a \neq 0)$ 过点 $A(4，0)$，点 $B$ 是抛物线在第一象限内的一个动点，过点 $B$ 作矩形 $BCDE$，使边 $CD$ 在 $x$ 轴上(点 $C$ 在点 $D$ 的左侧)，点 $E$ 在抛物线上，设点 $B$ 的横坐标是 $m$，当 $m = \frac{1}{2}$ 时，$BC = \frac{7}{4}$.
(1)求抛物线的表达式.
(2)当 $m$ 为何值时，四边形 $BCDE$ 是正方形？
　　　　　　　　　　　　

答案： 【解】
(1)$\because$抛物线$y = ax^{2} + bx(a\neq0)$过点$A(4,0)$，
$\therefore 16a + 4b = 0$，$\therefore b = -4a$.
$\therefore$抛物线的表达式为$y = ax^{2} - 4ax$.
$\because$点$B$的横坐标是$m$，当$m = \frac{1}{2}$时，$BC = \frac{7}{4}$，
$\therefore B(\frac{1}{2},\frac{7}{4})$.
把点$B$的坐标代入$y = ax^{2} - 4ax$，得
$\frac{7}{4} = \frac{1}{4}a - 4a\times\frac{1}{2}$，解得$a = -1$.
$\therefore$抛物线的表达式为$y = -x^{2} + 4x$.
(2)$\because$四边形$BCDE$是矩形，
$\therefore$当$BC = CD$时，四边形$BCDE$是正方形.
$\because A(4,0)$，点$B$的横坐标是$m$，且$BC\perp x$轴，
$\therefore OA = 4$，$OC = m$.
由抛物线和矩形的对称性易知$DA = OC = m$，
$\therefore BC = CD = 4 - 2m$. $\therefore B(m,4 - 2m)$.
把点$B$的坐标代入$y = -x^{2} + 4x$，得$-m^{2} + 4m = 4 - 2m$，
整理得$m^{2} - 6m + 4 = 0$，
解得$m = 3 - \sqrt{5}$或$m = 3 + \sqrt{5} ＞ 4$(舍去).
$\therefore$当$m = 3 - \sqrt{5}$时，四边形$BCDE$是正方形.

12. [2024福建] 如图，已知二次函数 $y = x^2 + bx + c$ 的图像与 $x$ 轴交于 $A$，$B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$，其中 $A(-2，0)$，$C(0，-2)$.
(1)求二次函数的表达式；
(2)若 $P$ 是二次函数图像上的一点，且点 $P$ 在第二象限，线段 $PC$ 交 $x$ 轴于点 $D$，$\triangle PDB$ 的面积是 $\triangle CDB$ 的面积的 2 倍，求点 $P$ 的坐标.

答案： 【解】
(1)将$A(-2,0)$，$C(0,-2)$的坐标代入$y = x^{2} + bx + c$，得$\begin{cases}4 - 2b + c = 0, \\ c = -2, \end{cases}$ $\therefore\begin{cases}b = 1, \\ c = -2. \end{cases}$
$\therefore$二次函数的表达式为$y = x^{2} + x - 2$.
(2)设$P(m,n)(m ＜ 0,n ＞ 0)$.
$\because\triangle PDB$的面积是$\triangle CDB$的面积的 2 倍，
$\therefore\frac{\frac{1}{2}BD\cdot n}{\frac{1}{2}BD\cdot CO} = 2$. $\therefore\frac{n}{CO} = 2$.
易知$CO = 2$，$\therefore n = 2CO = 4$.
$\because P$是二次函数图像上的一点，$\therefore m^{2} + m - 2 = 4$，解得$m_{1} = -3$，$m_{2} = 2$(舍去).
$\therefore$点$P$的坐标为$(-3,4)$.

13. [2024·石家庄校级月考 新视角 最值探究题] 如图，在平面直角坐标系中，$O$ 为坐标原点，二次函数 $y = (x - h)^2 - 1$（$h$ 为常数）的图像 $L$ 与 $y$ 轴的交点为 $C$. 已知点 $A(-4，1)$，$B(0，1)$，$P(-2，-1)$.
(1)当 $L$ 经过点 $P$ 时，该二次函数的表达式为____________，此时 $L$ 的顶点坐标为_______；
(2)设点 $C$ 的纵坐标为 $y_c$，求 $y_c$ 的最小值，当 $y_c$ 取最小值时，$L$ 上有两点$(x_1，y_1)$，$(x_2，y_2)$，若 $x_1 ＜ x_2 \leq 0$，比较 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小；
(3)当线段 $AB$ 被 $L$ 只分为两部分，且这两部分的比是 1：3 时，请直接写出 $h$ 的值.
　　　　　　　　　　　　

答案： 【解】
(1)$y = (x + 2)^{2} - 1$；$(-2,-1)$
(2)令$x = 0$，则$y = (0 - h)^{2} - 1 = h^{2} - 1$，$\therefore y = h^{2} - 1$.
$\therefore$当$h = 0$时，$y$最小，最小值为$-1$.
$\therefore$此时二次函数的表达式为$y = x^{2} - 1$.
$\therefore$此时$L$开口向上，对称轴为$y$轴.
$\therefore$当$x\leqslant0$时，$y$随$x$的增大而减小.
$\because$点$(x_{1},y_{1})$，$(x_{2},y_{2})$在$L$上，且$x_{1} ＜ x_{2}\leqslant0$，$\therefore y_{1} ＞ y_{2}$.
(3)$h = -3 - \sqrt{2}$或$h = -1 + \sqrt{2}$. 【点拨】$\because$点$A(-4,1)$，$B(0,1)$，
$\therefore$易得把$AB$分为$1:3$的两部分的点为$(-3,1)$或$(-1,1)$.
令$y = (x - h)^{2} - 1 = 1$，解得$x = h\pm\sqrt{2}$.
把$(-3,1)$代入$y = (x - h)^{2} - 1$，得$(-3 - h)^{2} - 1 = 1$，解得$h = -3 - \sqrt{2}$或$h = -3 + \sqrt{2}$. 当$h = -3 - \sqrt{2}$时，$h + \sqrt{2} = -3$，$h - \sqrt{2} = -3 - 2\sqrt{2} ＜ -4$，符合题意；当$h = -3 + \sqrt{2}$时，$h - \sqrt{2} = -3$，$h + \sqrt{2} = -3 + 2\sqrt{2}$，$-3 ＜ -3 + 2\sqrt{2} ＜ 0$，此时$L$把线段$AB$分为三部分，不符合题意，舍去.
把点$(-1,1)$代入$y = (x - h)^{2} - 1$，得$(-1 - h)^{2} - 1 = 1$，解得$h = -1 + \sqrt{2}$或$h = -1 - \sqrt{2}$. 当$h = -1 + \sqrt{2}$时，$h - \sqrt{2} = -1$，$h + \sqrt{2} = -1 + 2\sqrt{2} ＞ 0$，符合题意；当$h = -1 - \sqrt{2}$时，$h + \sqrt{2} = -1$，$h - \sqrt{2} = -1 - 2\sqrt{2}$，$-4 ＜ -1 - 2\sqrt{2} ＜ -1$，此时$L$把线段$AB$分为三部分，不符合题意，舍去.
综上所述，$h = -3 - \sqrt{2}$或$h = -1 + \sqrt{2}$.