《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册冀教版》

10. [2024邯郸模拟] 如图，过正六边形ABCDEF的顶点D作一条直线l⊥AD于点D，分别延长AB，AF交直线l于点M，N，则∠AMN =________；若正六边形ABCDEF的面积为6，则△AMN的面积为________.
　　　　　

答案：
30°；16 [点拨]如图,连接BE交AD于点O.
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴OA = OB，∠AOB = $\frac{360^{\circ}}{6}=60^{\circ}$.

∴△AOB是正三角形，
∴∠OAB = 60°，AB = OA.
过点O作OG⊥AB，则OG = OA·sin 60° = $\frac{\sqrt{3}}{2}$OA.
∵AD⊥MN，
∴∠ADM = 90°.
∴∠AMN = 180° - 60° - 90° = 30°. 同理∠ANM = 30°.
∵正六边形ABCDEF的面积为6，
∴△AOB的面积为1.
∴$\frac{1}{2}$AB·OG = 1.
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$·OA² = 1.
∴OA² = $\frac{4\sqrt{3}}{3}$.
∵∠AMN = ∠ANM = 30°，
∴AM = AN，
又
∵AD⊥MN，
∴DM = DN = $\sqrt{3}$AD = 2$\sqrt{3}$OA，
∴S△AMN = $\frac{1}{2}$MN·AD = $\frac{1}{2}\times2\times2\sqrt{3}$OA×2OA = 4$\sqrt{3}$OA² = 16.

11. (12分) [情境题 生活应用] 如图①，小吴同学在陶艺课中为八角花盆制作圆形托盘，已知八角花盆底部截面是一个正八边形(如图②)，请解决下列问题.
(1)求八角花盆底部截面正八边形一个内角的度数.
(2)若八角花盆底部截面正八边形的边长是16 cm，小吴同学制作的圆形托盘半径是22 cm，问：这个托盘是否适用于此八角花盆?(图③中的数据为近似值，供选用)
　　

答案：
【解】
(1)
∵正八边形的外角 = $\frac{360^{\circ}}{8}=45^{\circ}$，
∴正八边形的内角 = 180° - 45° = 135°.
(2)如图,设正八边形的中心为点O，连接OA，OB，过点O作OH⊥AB于点H，则∠AOB = $\frac{360^{\circ}}{8}=45^{\circ}$.
∵OA = OB，
∴AH = $\frac{1}{2}$AB = 8 cm，∠AOH = $\frac{1}{2}$∠AOB = 22.5°.

∴sin 22.5° = $\frac{AH}{OA}\approx\frac{0.38}{1}$，
∴OA≈21.1 cm.
∵21.1 cm＜22 cm，
∴这个托盘适用于此八角花盆.

12. (14分)如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接AC，BD，相交于点P，若⊙O的半径为1.
(1)求AC的长；
(2)求∠APD的度数.
　　　　　　　　　　　　　　

答案：
【解】
(1)如图,连接OA，OB，设OB与AC交于点Q，由题意易知QA = QC，OB⊥AC.
∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴∠AOB = $\frac{360^{\circ}}{8}=45^{\circ}$，

∴QA = OA·sin ∠AOB = 1×sin 45° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AC = 2QA = $\sqrt{2}$.
(2)由题意可知$\overset{\frown}{AFD}$所对的圆心角为5∠AOB = 225°，
∴∠ABD = $\frac{1}{2}\times225^{\circ}=112.5^{\circ}$.
易知∠BAC = $\frac{1}{2}\times45^{\circ}=22.5^{\circ}$.
∴∠APD = ∠ABD + ∠BAC = 135°.

13. (20分)[2024沧州模拟] 如图①和图②，O为两个同心圆的圆心，大圆被八等分，等分点为A，B，C，D，E，F，G，H. 已知两个圆的半径分别为6，2.
(1)如图①，若大圆中的弦AP与小圆相切于点M，求AP的长；
(2)通过计算比较⌢AD的长和小圆的周长的大小；
(3)如图②，连接OB，AG，判断OB和AG的位置关系，并求出点B到直线AG的距离.
　　　　　　　

答案：
【解】
(1)如图①,连接OA，OM.
∵AP与小圆相切于点M，
∴OM⊥AP.
∴AM = PM.
在Rt△AOM中，OA = 6，OM = 2，
∴AM = $\sqrt{OA^{2}-OM^{2}} = 4\sqrt{2}$，
∴AP = 2AM = 8$\sqrt{2}$.
(2)如图①,连接OD. 由题意得∠AOD = $\frac{360^{\circ}}{8}\times3 = 135^{\circ}$，
∴$\overset{\frown}{AD}$的长为$\frac{135\pi\times6}{180}=\frac{9}{2}\pi$.
∵小圆的周长为2π×2 = 4π，且4π＜$\frac{9}{2}\pi$，
∴$\overset{\frown}{AD}$的长大于小圆的周长.
(3)如图②,连接OA，OG.
由题意得∠AOB = $\frac{360^{\circ}}{8}=45^{\circ}$，∠AOG = $\frac{360^{\circ}}{8}\times2 = 90^{\circ}$，OA = OG，
∴∠OAG = ∠OGA = 45°.
∴∠OAG = ∠AOB.
∴OB//AG.
过点O作ON⊥AG于点N，则ON = OA·sin 45° = 3$\sqrt{2}$.
∵OB//AG，
∴点B到直线AG的距离为3$\sqrt{2}$.