《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册冀教版》

1. 母题教材P27习题A组T1下列函数中，y是x的二次函数的是 （ ）
A. $y=\frac{1}{x^{2}}$
B. $y=x^{2}-1$
C. $y=3x+1$
D. $y=(x - 1)^{2}-x^{2}$

答案： B

2. 关于函数$y=(500 - 10x)(40 + x)$，下列说法不正确的是 （ ）
A. y是x的二次函数
B. 二次项系数是－10
C. 一次项是100
D. 常数项是20 000

答案： C

3. [2024福州校级期末] 某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（万元）关于x的函数关系式为 （ ）
A. $y=9(1 + x)^{3}$
B. $y=9 + 9x + x^{2}$
C. $y=9 + 9(1 + x)+9(1 + x)^{2}$
D. $y=9(1 + x)^{2}$

答案： C

4. 新视角 条件开放题 已知$y=(m - 3)x^{2}-x + 5$为二次函数，请写出一个符合条件的m的值：______.

答案： 0(答案不唯一)

5. 在边长为6的正方形中间挖去一个边长为x(0＜x＜6)的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为________.

答案： y = -x² + 36(0 ＜ x ＜ 6)

6. 已知二次函数$y=(k - 1)x^{k^{2}-3k + 4}+2x - 1$.
(1)求k的值；
(2)求当$x=\frac{1}{2}$时y的值.

答案： 【解】
(1)由题意得k² - 3k + 4 = 2,且k - 1≠0,
∴k = 2.
(2)把k = 2代入$y=(k - 1)x^(k² - 3k + 4)+2x - 1$得y = x² + 2x - 1,当x = 1/2时,y = (1/2)² + 2×1/2 - 1 = 1/4.

7. [2024廊坊校级月考] 如图，线段AB = 10 cm，点P在线段AB上（不与点A，B重合），以AP为边作正方形APCD. 设AP = x cm，BP = y cm，正方形APCD的面积为S cm²，则y与x，S与x满足的函数关系分别为 （ ）
A. 一次函数关系，二次函数关系 B. 反比例函数关系，二次函数关系 C. 一次函数关系，反比例函数关系 D. 反比例函数关系，一次函数关系
　　

答案： A

8. 情境题 生活应用 某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)满足二次函数$y=\frac{1}{1000}x^{2}+\frac{1}{100}x(x＞0)$，若该车某次的刹车距离为9 m，则开始刹车时的速度为________m/s.

答案： 90

9. 如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形ABCD的边上. 若设AE = x，正方形EFGH的面积为y，则y与x之间的函数关系式为____________.
　　

答案：
y = 2x² - 4x + 4　　【点拨】如图,
∵四边形ABCD是边长为2的正方形,
∴∠A = ∠B = 90°,AB = 2.
∴∠1 + ∠2 = 90°,BE = 2 - x,
∵四边形EFGH为正方形,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴∠HEF = 90°,EH = EF.
∴∠1 + ∠3 = 90°.
∴∠2 = ∠3.
∴△AHE≌△BEF.
∴AH = BE = 2 - x.
　在Rt△AHE中,由勾股定理得EH² = AE² + AH² = x² + (2 - x)² = 2x² - 4x + 4,
∴y = 2x² - 4x + 4.

10. 关于x的函数$y=(a^{2}+2a + 3)x^{2}+3ax + 1$，甲说：“此函数不一定是二次函数.”乙说：“此函数一定是二次函数.”丙说：“此函数是不是二次函数与a的取值有关.”你认为谁的说法正确？请说明理由.

答案： 【解】乙的说法正确.理由如下:
　　因为a² + 2a + 3 = (a + 1)² + 2,
　　且无论a取何值,(a + 1)²≥0,所以(a + 1)² + 2≥2,
　　即a² + 2a + 3≥2,
　　所以此函数一定是二次函数.