《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册冀教版》

1. 同一坐标系中，抛物线y=(x - a)²与直线y = ax + a可能是 （ ）

答案： B 【点拨】当抛物线y=(x - a)²的顶点在x轴的正半轴上时，a＞0，则直线y = ax + a经过第一、二、三象限，故B正确，A错误；当抛物线y=(x - a)²的顶点在x轴的负半轴上时，a＜0，则直线y = ax + a经过第二、三、四象限，故C，D错误. 故选B.

2. 若点(-2,y₁)，(-1,y₂)，(0,y₃)都在二次函数y = -x²的图像上，则 （ ）
A. y₃＞y₂＞y₁
B. y₂＞y₁＞y₃
C. y₁＞y₃＞y₂
D. y₃＞y₁＞y₂

答案： A 【点拨】
∵二次函数的表达式为y = -x²，
∴该二次函数的图像开口向下，且对称轴为y轴.
∴当x≤0时，y随x的增大而增大.
∵ - 2＜ - 1＜0，
∴y₁＜y₂＜y₃. 故选A.

3. [2024乐山] 已知二次函数y = x² - 2x(-1≤x≤t - 1)，当x = -1时，函数取得最大值；当x = 1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A. 0＜t≤2
B. 0＜t≤4
C. 2≤t≤4
D. t≥2

答案： C 【点拨】因为y = x² - 2x=(x - 1)² - 1，所以其图像的对称轴为直线x = 1.因为1 - ( - 1)=3 - 1，所以x = - 1和x = 3时的函数值相等.因为在 - 1≤x≤t - 1的范围内，当x = - 1时，函数取得最大值，当x = 1时，函数取得最小值，所以1≤t - 1≤3，解得2≤t≤4.

4. [2024廊坊期末] 将抛物线C：y=(x - 1)² - 2向左平移2个单位长度，得到的新的抛物线C'的顶点所在的象限是 （ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

答案： C 【点拨】
∵将抛物线C：y=(x - 1)² - 2向左平移2个单位长度，得到的新的抛物线C'的表达式为y=(x - 1 + 2)² - 2，即y=(x + 1)² - 2，
∴其顶点坐标为( - 1， - 2).
∴新的抛物线C'的顶点位于第三象限.

5. 将抛物线y = ax² + bx - 1向上平移5个单位长度后经过点(-2,5)，则8a - 4b = ________.

答案： 2 【点拨】
∵抛物线y = ax² + bx - 1向上平移5个单位长度后得到抛物线y = ax² + bx + 4，
∴把点( - 2，5)的坐标代入，得5 = a×( - 2)² - 2b + 4，即4a - 2b = 1，
∴8a - 4b = 2.

6. [2024遂宁] 如图，已知抛物线y = ax² + bx + c（a，b，c为常数，且a≠0）的对称轴为直线x = -1，且该抛物线与x轴交于点A(1,0)，与y轴的交点B在(0,-2)，(0,-3)之间（不含端点），则下列结论正确的个数为 （ ）
①abc＞0；②9a - 3b + c＞0；$③\frac{2}{3}＜a＜1；$④若方程ax² + bx + c = x + 1的两根为m，n(m＜n)，则-3＜m＜1＜n.

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： B 【点拨】
∵抛物线开口向上，
∴a＞0.
∵对称轴为直线x = - $\frac{b}{2a}$= - 1＜0，
∴b = 2a＞0.
∵抛物线与y轴的交点B在(0， - 2)和(0， - 3)之间，
∴ - 3＜c＜ - 2＜0，
∴abc＜0，故①不正确.
∵该抛物线的对称轴为直线x = - 1，且与x轴交于点A(1，0)，
∴其与x轴交于另一点( - 3，0).
∴当x = - 3时，y = 9a - 3b + c = 0，故②不正确.
∵抛物线过点A(1，0)，
∴a + b + c = 0.又
∵b = 2a，
∴c = - 3a，
∵ - 3＜c＜ - 2，
∴ - 3＜ - 3a＜ - 2，
∴$\frac{2}{3}$＜a＜1，故③正确.若方程ax² + bx + c = x + 1的两根为m，n(m＜n)，则直线y = x + 1与抛物线的交点的横坐标分别为m，n.
∵直线y = x + 1过第一、二、三象限，且过点( - 1，0)，
∴直线y = x + 1与抛物线的交点在第一、三象限，结合题图可知 - 3＜m＜1＜n，故④正确.综上所述，正确的结论有③④，共2个.

7. 二次函数y = ax² + bx + c(a≠0)的部分图像如图所示，对称轴为直线x = -1，则下列结论：
$①\frac{b}{c}＞0；$②am² + bm≤a - b(m为任意实数)；③3a + c＜1；④若M(x₁,y)，N(x₂,y)是抛物线上不同的两个点，则x₁ + x₂≤ - 3.
其中正确的结论有 （ ）

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： B 【点拨】
∵抛物线开口向下，
∴a＜0.又
∵抛物线的对称轴是直线x = - $\frac{b}{2a}$= - 1，
∴b = 2a＜0.
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴当x = 0时，y = c＞0.
∴$\frac{b}{c}$＜0，故①错误.
∵当x = - 1时，y取得最大值，最大值为a - b + c，
∴对于任意实数m，当x = m时，y = am² + bm + c≤a - b + c.
∴am² + bm≤a - b，故②正确.由图像可得，当x = 1时，y = a + b + c＜0，又
∵b = 2a，
∴3a + c＜0＜1，故③正确.
∵M(x₁，y)，N(x₂，y)是抛物线y = ax² + bx + c上不同的两点，抛物线的对称轴为直线x = - 1，
∴x₁ + x₂ = - 1×2 = - 2＞ - 3，故④错误.综上，正确的有②③，共2个.

8. [2024张家口期中] 某超市以每件10元的价格购进一种文具. 经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y(件)与销售单价x(元)(15≤x≤26)之间满足y = - 2x + 60，则每天销售这种文具的 （ ）
A. 最大利润为150元
B. 最大利润为128元
C. 最小利润为150元
D. 最小利润为128元

答案： D 【点拨】设每天销售这种文具的利润为w元，由题意得w = y(x - 10)= - 2(x - 20)² + 200，
∴在15≤x≤26的范围内，当x = 20时，w取得最大值为200，当x = 26时，w取得最小值为128.
∴每天销售这种文具的最小利润为128元，故选D.

9. [2024廊坊期末] 某网络平台销售一种电动牙刷，进价为每把30元，在销售过程中发现如下市场规律：当每把电动牙刷售价为35元时，每天可售出350把；若销售单价每提高1元，则每天销售量减少10把. 已知销售单价不低于35元，且物价部门规定每把电动牙刷的销售利润不高于进价的50％，设销售单价为x元.
(1)当x = 38时，每天可销售电动牙刷________把.
(2)若当天的利润为3 000元，求x的值.
(3)当x为多少时，该网络平台当天获得利润W(元)最大？最大利润为多少元？

答案： 【解】
(1)320 【点拨】由题意知，每天的销售量为[350 - 10(x - 35)]把，
∴当x = 38时，每天可销售电动牙刷350 - 10×(38 - 35)=320(把).
(2)由题意，得每天的利润为(x - 30)[350 - 10(x - 35)]元.
∵当天的利润为3000元，
∴3000=(x - 30)[350 - 10(x - 35)]，
∴x = 40或x = 60.
∵电动牙刷的销售利润不高于进价的50％，
∴x≤30×(1 + 50％)=45，
∴x = 60不合题意.
∴x = 40.
(3)由题意得35≤x≤45，W=(x - 30)[350 - 10(x - 35)]= - 10(x - 50)² + 4000.
∵ - 10＜0，
∴当x＜50时，W随x的增大而增大.
∴当x = 45时，利润最大，最大利润为3750元.