《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册冀教版》

1. 关于二次函数$y=-2x^{2}+3$，下列说法中正确的是 （ ）
A. 图像的开口向上
B. 当$x ＜ -1$时，$y$随$x$的增大而增大
C. 图像的顶点坐标是$(-2,3)$
D. 当$x = 0$时，$y$有最小值3

答案： B

2. 已知点$(-1,y_{1})$，$(\frac{1}{2},y_{2})$，$(2,y_{3})$是抛物线$y=-2x^{2}+1$上的三点，则$y_{1}$，$y_{2}$，$y_{3}$的大小关系为 （ ）
A. $y_{3}＞y_{2}＞y_{1}$
B. $y_{2}＞y_{1}＞y_{3}$
C. $y_{1}＞y_{2}＞y_{3}$
D. $y_{2}＞y_{3}＞y_{1}$

答案： B 【点拨】
∵抛物线$y=-2x^{2}+1$的开口向下，对称轴为$y$轴，
∴抛物线上的点到$y$轴的距离越近，$y$的值越大.
$\because\left|\frac{1}{2}-0\right|＜|-1 - 0|＜|2 - 0|$，
∴$y_{2}＞y_{1}＞y_{3}$.
点方法 到对称轴的距离比较法：当抛物线的开口向上时，抛物线上的点到对称轴的距离越远，相应的函数值越大；当抛物线的开口向下时，抛物线上的点到对称轴的距离越远，相应的函数值越小.

3. [2024·泰州期末 新视角·结论开放题] 已知关于$x$的二次函数$y=-x^{2}+c$的图像不经过第一、二象限，则合适的常数$c$的值可以为_______.

答案： -4(答案不唯一）

4. 如图，将抛物线$y=\frac{1}{3}x^{2}$向____平移______个单位长度得到抛物线$y=\frac{1}{3}x^{2}+2$；将抛物线$y=\frac{1}{3}x^{2}$向_______平移______个单位长度得到抛物线$y=\frac{1}{3}x^{2}-2$.

答案： 上；2；下；2

5. [新视角 动手操作题] 在同一平面直角坐标系（如图）中，画出下列二次函数的图像：$y=\frac{1}{4}x^{2}$，$y=\frac{1}{4}x^{2}+2$，$y=\frac{1}{4}x^{2}-2$.
试说明函数$y=\frac{1}{4}x^{2}+2$和$y=\frac{1}{4}x^{2}-2$的图像可以分别由函数$y=\frac{1}{4}x^{2}$的图像经过怎样的平移得到，并分别指出三个函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标. 对于这三个函数，当$x$取何值时，$y$随$x$的增大而增大？当$x$取何值时，$y$随$x$的增大而减小？

答案：
【解】如图.

$y = \frac{1}{4}x^{2}$的图像向上平移2个单位长度得到$y = \frac{1}{4}x^{2}+2$的图像，$y = \frac{1}{4}x^{2}$的图像向下平移2个单位长度得到$y = \frac{1}{4}x^{2}-2$的图像.
$y = \frac{1}{4}x^{2}$的图像开口向上，对称轴为$y$轴，顶点坐标为(0，0)，$y = \frac{1}{4}x^{2}+2$的图像开口向上，对称轴为$y$轴，顶点坐标为(0，2)，$y = \frac{1}{4}x^{2}-2$的图像开口向上，对称轴为$y$轴，顶点坐标为(0，-2). 对于$y = \frac{1}{4}x^{2}$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；
对于$y = \frac{1}{4}x^{2}+2$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；对于$y = \frac{1}{4}x^{2}-2$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小.

6. [易错题] 已知二次函数$y=(k + 2)x^{2}+(k + 3)$.
（1）若函数图像有最高点，求$k$的取值范围；
（2）若函数图像与$y$轴正半轴相交，求$k$的取值范围.

答案： 【解】
(1)由题意可知函数图像的开口向下，
∴$k + 2＜0$，
∴$k＜-2$.
(2)由题意得$k + 3＞0$且$k + 2≠0$，
∴$k＞-3$且$k≠-2$.
点易错 当二次函数的二次项系数含有字母时，一定要考虑二次项系数不为0这一条件.

7. [易错题] 在同一平面直角坐标系中，一次函数$y=-ax + b$与二次函数$y = ax^{2}-b$的大致图像可能是 （ ）

答案： D 【点拨】易知选项A中一次函数$y=-ax + b$的$a＜0$，$b＞0$，二次函数$y = ax^{2}-b$的$a＜0$，$b＜0$，故选项A不符合题意；
易知选项B中一次函数$y=-ax + b$的$a＞0$，$b＞0$，二次函数$y = ax^{2}-b$的$a＜0$，$b＜0$，故选项B不符合题意；
易知选项C中一次函数$y=-ax + b$的$a＞0$，$b＜0$，二次函数$y = ax^{2}-b$的$a＞0$，$b＞0$，故选项C不符合题意；
易知选项D中一次函数$y=-ax + b$的$a＞0$，$b＞0$，二次函数$y = ax^{2}-b$的$a＞0$，$b＞0$，故选项D符合题意，故选D.