《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册冀教版》

1. 新趋势 跨学科综合 一个球从地面竖直向上弹起时的速度为8 m/s，经过t s时球的高度为h m，h和t满足公式$h = v_0t - \frac{1}{2}gt^2$（$v_0$表示球弹起时的速度，g表示重力系数，g取10 m/s²），则球的高度不低于3 m的持续时间是 （ ）
A. 0.4 s
B. 0.6 s
C. 0.8 s
D. 1 s

答案： A 【点拨】
∵$v_0 = 8\ m/s$，$g$取$10\ m/s^2$，
∴$h = 8t - 5t^2$。将$h = 3$代入$h = 8t - 5t^2$，得$3 = 8t - 5t^2$，解得$t_1=\frac{3}{5}$，$t_2 = 1$。
∴球的高度不低于3 m的持续时间是$1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}=0.4(s)$。

2. 情境题 生活应用 使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m³）与旋钮的旋转角度x（单位：度，0°＜x≤90°）近似满足函数关系$y = ax^2 + bx + c$（a≠0）. 如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x与所需燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开同一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为 （ ）

A. 29°
B. 30°
C. 42°
D. 49°
　　　　　　　　　　　　

答案： C 【点拨】由题意可知函数图像为开口向上的抛物线，设抛物线的对称轴为直线$x = m$，
由题图易知$\frac{18 + 54}{2}＜m＜\frac{18 + 72}{2}$，
即$36＜m＜45$。
∴最节省燃气的旋钮的旋转角度应在$36^{\circ}$和$45^{\circ}$之间。

3. 2024·天津 新趋势 跨学科综合 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是$h = 30t - 5t^2$（0≤t≤6）. 有下列结论：
①小球从抛出到落地需要6 s；
②小球运动中的高度可以是30 m；
③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度. 其中，正确结论的个数是 （ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

答案： C 【点拨】①令$h = 0$，则$30t - 5t^2 = 0$，解得$t_1 = 0$，$t_2 = 6$，
∴小球从抛出到落地需要6 s，故①正确。
②$h = 30t - 5t^2=-5(t^2 - 6t)=-5(t - 3)^2 + 45$。
∵$-5＜0$，
∴当$t = 3$时，$h$有最大值，最大值为45。
∴小球运动中的高度可以是30 m，故②正确。
③当$t = 2$时，$h = 30×2 - 5×4 = 40$，
当$t = 5$时，$h = 30×5 - 5×25 = 25$。
∵$40＞25$，
∴小球运动2 s时的高度大于运动5 s时的高度，故③错误。

4. 情境题 实物抽象 如图①为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看成是抛物线的一部分，如图②是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足的函数关系$y = -0.02x^2 + 0.3x + 1.6$的图像，点B（6，2.68）在该图像上. 若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看成长CD = 4 m，高DE = 1.8 m的矩形，则可判定货车______完全停到车棚内（填“能”或“不能”）.

答案： 能 【点拨】当货车刚好完全停到车棚内时，
∵$CD = 4\ m$，$B(6,2.68)$，
∴易得$OC = 6 - 4 = 2(m)$，则$F(2,1.8)$。
在$y=-0.02x^2 + 0.3x + 1.6$中，
当$x = 2$时，$y=-0.02×2^2 + 0.3×2 + 1.6 = 2.12$。
∵$2.12＞1.8$，
∴货车能完全停到车棚内。

5. 新趋势 跨学科综合 心理学家们发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：min）之间满足函数关系$y = -0.1x^2 + 2.6x + 43$，0≤x≤30，y值越大表示接受能力越强. 当学生的接受能力是59.9时，提出概念所用的时间是______.

答案： 13 min 【点拨】把$y = 59.9$代入$y=-0.1x^2 + 2.6x + 43$，得$-0.1x^2 + 2.6x + 43 = 59.9$，解得$x_1 = x_2 = 13$。故提出概念所用的时间是13 min。

6. 如图，矩形ABCD中，AB = 9，AD = 12，点P从A出发以每秒3个单位长度的速度沿A→D→C→B→A运动一周，到点A停止. 当点P不与矩形ABCD的顶点重合时，过点P作直线PQ⊥AP，与矩形的边的另一交点为Q. 若点P的运动时间为t秒，当8＜t＜10时，CQ长度的范围是______.

答案：
$3＜CQ\leq4$ 【点拨】由题意可知，当$t = 8$时，点$P$的运动路程为$3×8 = 24$，当$t = 10$时，点$P$的运动路程为$3×10 = 30$。
∵$AD + CD = 21$，$AD + CD + BC = 33$，
∴当$8＜t＜10$时，点$P$在线段$BC$上，如图。
∴$CP = 3t - 21$，$BP = 33 - 3t$。
∵$PQ\perp AP$，
∴$\angle APQ = 90^{\circ}$，
∴$\angle CPQ+\angle APB = 90^{\circ}$。
∵$\angle B = 90^{\circ}$，
∴$\angle PAB+\angle APB = 90^{\circ}$，
∴$\angle PAB=\angle CPQ$。
又
∵$\angle B=\angle C = 90^{\circ}$，
∴$\triangle CPQ\sim\triangle BAP$。
∴$\frac{CQ}{BP}=\frac{CP}{AB}$。
∴$CQ=\frac{CP\cdot BP}{AB}=\frac{(3t - 21)(33 - 3t)}{9}=(t - 7)(11 - t)=-(t - 9)^2 + 4$。
∵$8＜t＜10$，
∴$3＜CQ\leq4$。

7. 2024·烟台 母题 教材P46习题B组T2 每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”. 康宁公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该月销售. 根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆. 公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元. 设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12 160元，请问这天售出了多少辆轮椅？

答案： 【解】
(1)由题意，得$y=(200 - x)(60 + 4×\frac{x}{10})$
$=-0.4x^2 + 20x + 12000$
$=-0.4(x^2 - 50x + 625)+12250$
$=-0.4(x - 25)^2 + 12250$。
∵$200 - x\geq180$，$x＞0$，
∴$0＜x\leq20$。
∴当$x = 20$时，$y$最大，最大值为$-0.4×(20 - 25)^2 + 12250 = 12240$。
答：$y$与$x$的函数关系式为$y=-0.4(x - 25)^2 + 12250$；每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12240元。
(2)由题意，得$12160=-0.4(x - 25)^2 + 12250$
解得$x_1 = 40$(不合题意，舍去)，$x_2 = 10$。
∴售出轮椅的辆数为$60 + 4×\frac{10}{10}=64$(辆)。
答：这天售出了64辆轮椅。