《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册冀教版》

1. [2024唐山期末]在同一平面直角坐标系中，一次函数$y = ax + b$与二次函数$y = ax^{2} + bx$的图像可能是（ ）

答案： B [点拨]A. 由抛物线可知a＞0，−$\frac{b}{2a}$＞0，得b＜0，由直线可知a＜0，b＞0，故本选项不符合题意；B. 由抛物线可知a＞0，−$\frac{b}{2a}$＜0，得b＞0，由直线可知a＞0，b＞0，故本选项符合题意；C. 由抛物线可知a＜0，−$\frac{b}{2a}$＞0，得b＞0，由直线可知a＞0，b＜0，故本选项不符合题意；D. 由抛物线可知a＜0，−$\frac{b}{2a}$＜0，得b＜0，由直线可知a＞0，b＞0，故本选项不符合题意。

2. [2024自贡]一次函数$y = x - 2n + 4$，二次函数$y = x^{2} + (n - 1)x - 3$，反比例函数$y = \frac{n + 1}{x}$在同一直角坐标系中的图像如图所示，则$n$的取值范围是（ ）

A. $n ＞ - 1$
B. $n ＞ 2$
C. $- 1 ＜ n ＜ 1$
D. $1 ＜ n ＜ 2$

答案： C [点拨]根据题意得$\begin{cases}-2n + 4＞0\\-\frac{n - 1}{2}＞0\\n + 1＞0\end{cases}$，解得−1＜n＜1。

3. 已知点$A(-2,y_{1})$，$B(1,y_{2})$，$C(2,y_{3})$都在二次函数$y = ax^{2} - 2ax + 5(a ＞ 0)$的图像上，则$y_{1}$，$y_{2}$，$y_{3}$的大小关系用“＜”表示为（ ）
A. $y_{2} ＜ y_{3} ＜ y_{1}$
B. $y_{1} ＜ y_{2} ＜ y_{3}$
C. $y_{2} ＜ y_{1} ＜ y_{3}$
D. $y_{3} ＜ y_{2} ＜ y_{1}$

答案： A [点拨]二次函数y = ax²−2ax + 5(a＞0)的图像的对称轴为直线x = −$\frac{−2a}{2a}$ = 1，
∴C(2，y₃)关于对称轴的对称点为C'(0，y₃)。
∵a＞0，
∴当x≤1时，y随x的增大而减小。
∵点A(−2，y₁)，B(1，y₂)，C'(0，y₃)都在二次函数y = ax²−2ax + 5(a＞0)的图像上，−2＜0＜1，
∴y₂＜y₃＜y₁。点方法比较抛物线上两点对应的函数值大小的方法：
①如果两点在对称轴的同侧，可以用二次函数的增减性比较大小；
②如果两点在对称轴的两侧，可以利用二次函数图像的对称性将对称轴两侧的函数值大小比较问题转化为同侧的函数值大小比较问题。

4. [2024邯郸模拟]点$A(a,m)$，$B(3,n)$，$C(a + 4,m)$均在抛物线$y = \frac{1}{2}x^{2} - kx$上，若$m ＞ n$，则$k$的值可能是（ ）
A. $\frac{1}{2}$
B. 1
C. 4
D. 5

答案： C [点拨]
∵点A(a，m)，C(a + 4，m)都在抛物线上，
∴抛物线的对称轴为直线x = $\frac{a + a + 4}{2}$ = a + 2。
∵抛物线的表达式为y = $\frac{1}{2}$x²−kx，
∴抛物线的对称轴为直线x = −$\frac{−k}{2×\frac{1}{2}}$ = k。
∴a + 2 = k，即a = k - 2。
将点A的坐标代入抛物线的表达式，得
m = $\frac{1}{2}$a²−ka = $\frac{1}{2}$(k - 2)²−k(k - 2) = −$\frac{1}{2}$k² + 2。
将点B的坐标代入抛物线的表达式，得
n = $\frac{1}{2}$×3²−3k = $\frac{9}{2}$−3k。
∵m＞n，
∴−$\frac{1}{2}$k² + 2＞$\frac{9}{2}$−3k，即(k - 1)(k - 5)＜0。
∴$\begin{cases}k - 1＜0\\k - 5＞0\end{cases}$或$\begin{cases}k - 1＞0\\k - 5＜0\end{cases}$。
∴1＜k＜5。
∴只有C选项符合题意。

5. 新考法 新定义计算法 定义：$\min\{a,b\}=\begin{cases}a(a\leq b),\\b(a ＞ b),\end{cases}$若函数$y = \min\{x + 1,-x^{2} + 2x + 7\}$，则该函数的最大值为（ ）
A. 0
B. 2
C. 3
D. 4

答案：
D [点拨]设直线y = x + 1，抛物线y = −x² + 2x + 7，联立得$\begin{cases}y = x + 1\\y = -x² + 2x + 7\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 3\\y = 4\end{cases}$或$\begin{cases}x = -2\\y = -1\end{cases}$。
∴直线与抛物线的交点坐标为(−2，−1)，(3，4)。
在同一平面直角坐标系中作出直线与抛物线，如图，
则y = min{x + 1，−x² + 2x + 7} = $\begin{cases}-x² + 2x + 7(x≤ - 2)\\x + 1(-2 ＜ x≤3)\\-x² + 2x + 7(x ＞ 3)\end{cases}$
∴由图可知当x = 3时，函数y = min{x + 1，−x² + 2x + 7}取得最大值，最大值为4。

6. 已知抛物线$y = x^{2} + bx + c$经过点$(1,0)$和点$(0,3)$.
（1）求此抛物线的表达式；
（2）当自变量$x$满足$-1\leq x\leq3$时，求函数值$y$的取值范围；
（3）将此抛物线沿$x$轴平移$m(m ＞ 0)$个单位长度后，当自变量$x$满足$1\leq x\leq5$时，$y$的最小值为5，求$m$的值.

答案： [解]
(1)
∵抛物线y = x² + bx + c经过点(1，0)和点(0，3)，
∴$\begin{cases}1 + b + c = 0\\c = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = -4\\c = 3\end{cases}$。
∴此抛物线的表达式为y = x²−4x + 3。
(2)当x = −1时，y = 1 + 4 + 3 = 8，
当x = 3时，y = 9−12 + 3 = 0。
∵y = x²−4x + 3 = (x−2)²−1，
∴函数图像的顶点坐标为(2，−1)。
∴当−1≤x≤3时，y的取值范围是−1≤y≤8。
(3)此抛物线沿x轴向右平移m(m＞0)个单位长度后，新抛物线的表达式为y = (x−2−m)²−1。
∵当自变量x满足1≤x≤5时，y的最小值为5，
∴2 + m＞5，即m＞3。
此时x = 5时，y = 5，即(5−2−m)²−1 = 5，解得m₁ = 3 + $\sqrt{6}$，m₂ = 3 - $\sqrt{6}$(舍去)。
此抛物线沿x轴向左平移m(m＞0)个单位长度后，新抛物线的表达式为y = (x−2 + m)²−1。
∵当自变量x满足1≤x≤5时，y的最小值为5，
∴2 - m＜1，即m＞1。
此时x = 1时，y = 5，即(1−2 + m)²−1 = 5，解得m₃ = 1 + $\sqrt{6}$，m₄ = 1 - $\sqrt{6}$(舍去)。
综上所述，m的值为3 + $\sqrt{6}$或1 + $\sqrt{6}$。

7. [2024眉山]如图，二次函数$y = ax^{2} + bx + c(a\neq0)$的图像与$x$轴交于点$A(3,0)$，与$y$轴交于点$B$，对称轴为直线$x = 1$，下列四个结论：①$bc ＜ 0$；②$3a + 2c ＜ 0$；③$ax^{2} + bx\geq a + b$；④若$-2 ＜ c ＜ - 1$，则$-\frac{8}{3} ＜ a + b + c ＜ -\frac{4}{3}$. 其中正确结论的个数为（ ）

A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个

答案： C [点拨]①
∵函数图像的开口向上，
∴a＞0。
∵对称轴在y轴右侧，
∴a，b异号。
∴b＜0。
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0。
∴bc＞0。故①错误。
②
∵二次函数y = ax² + bx + c的图像与x轴交于点A(3，0)，对称轴为直线x = 1，
∴图像与x轴的另一个交点为(−1，0)，−$\frac{b}{2a}$ = 1。
∴b = −2a，a - b + c = 0。
∴3a + c = 0。
∵c＜0，
∴3a + 2c＜0，故②正确。
③
∵对称轴为直线x = 1，a＞0，
∴函数的最小值为a + b + c，
∴对于任意的x，都有ax² + bx + c≥a + b + c，即ax² + bx≥a + b。故③正确。
④
∵3a + c = 0，
∴a = −$\frac{1}{3}$c。
又
∵b = −2a，
∴b = $\frac{2}{3}$c，
∴a + b + c = $\frac{4}{3}$c。
∵−2＜c＜−1，
∴−$\frac{8}{3}$＜$\frac{4}{3}$c＜−$\frac{4}{3}$。
∴−$\frac{8}{3}$＜a + b + c＜−$\frac{4}{3}$。故④正确。
综上所述，正确的有②③④，共3个。