《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册冀教版》

8. 已知在△ABC中，∠A = 90°. 嘉嘉用圆规和直尺正确作出了⊙P，使圆心P在AC边上，且⊙P与AB，BC都相切. 有下列说法：①△ABC的内心在线段BP上；②若∠B = 60°，AB = 3，则⊙P的面积为3π. 以下判断正确的是（ ）
A. ①对，②不对
B. ①不对，②对
C. ①，②都对
D. ①，②都不对

答案： C　[点拨]如图,过点P作PD⊥BC于点D.
∵⊙P与AB,BC两边都相切，
　∠A=90°,
∴PA,PD为⊙P的半径，
∴PA=PD.
∴BP平分∠ABD.
∴△ABC的内心在线段BP上，故①对;
　若∠ABC=60°,
　则∠ABP= $\frac{1}{2}$∠ABC=30°.
∴在Rt△ABP中,AP= $\frac{\sqrt{3}}{3}$AB= $\frac{\sqrt{3}}{3}\times3=\sqrt{3}$
∴⊙P的面积为($\sqrt{3}$)²π=3π.故②对.

9. 如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于D，E两点，连接DE，AO的延长线交DE于点F，若∠ACB = 70°，则∠AFD的大小是________.
　　　

答案：
35°　[点拨]如图所示，连接OE,OD,OB,设OB,DE交于点H.
∵⊙O是△ABC的内切圆，
　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴AO,BO分别是∠CAB,∠CBA的平分线.
∴∠OAB= $\frac{1}{2}$∠CAB，∠OBA= $\frac{1}{2}$∠CBA.
∵∠ACB=70°,
∴∠CAB+∠CBA=180°−∠ACB=110°.
∴∠OAB+∠OBA= $\frac{1}{2}$∠CAB+ $\frac{1}{2}$∠CBA= $\frac{1}{2}$(∠CAB+∠CBA)=55°.
∴∠AOB=180°−∠OAB−∠OBA=180°−(∠OAB+∠OBA)=125°.
∵⊙O与AB，BC分别相切于点D,E,
∴BD=BE,OD=OE.
∴OB是DE的垂直平分线.
∴OB⊥DE,即∠OHF=90°.
∴∠AFD=∠AOB−∠OHF=35°.

10. 新考法·最值探究法 如图，在△ABC中，∠ABC = 60°，BC = 8，E是BC边上一点，且BE = 2，点I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点D，P是BD上一动点，连接PE，PC，则PE + PC的最小值为________.
　　

答案： 2 $\sqrt{13}$

11. 如图，在△ABC中，AB = AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D.
(1)求证：AB是半圆O的切线；
(2)若∠A = 60°，点P是△ABC的内心，点O与点P之间的距离是2，求半圆O的半径.
　　　　　　　　　　　　　　　

答案：

(1)[证明]如图①,作OE⊥AB于点E,连接OD,OA.
∵AB=AC,点O是BC的中点，
　
∴∠CAO=∠BAO.
　
∵AC与半圆O相切于点D,
　　　　　　　　　　　　　　　　
∴OD⊥AC.
　
∵OE⊥AB,
∴OD=OE.
　
∴OE是半圆O的半径，
　
∴AB是半圆O的切线.
(2)[解]如图②,连接AO,OD,PC,
　
∵AB=AC,∠CAB=60°,
　
∴△ABC是等边三角形.
　　　　　　　　　　　　　　　　
∵O为BC的中点，
　
∴AO⊥BC,AO平分∠BAC.
　
∵点P是△ABC的内心，
　
∴点P在AO上,CP平分∠ACB.
　在Rt△COP中,易知∠PCO=30°,OP=2,
　
∴PC=2OP=4.
　
∴OC= $\sqrt{PC^{2}-OP^{2}}$ =2 $\sqrt{3}$.
　
∵AC与半圆O相切于点D,
∴∠ODC=90°.
　
∵∠OCD=60°,
∴∠COD=30°.
∴CD= $\frac{1}{2}$OC= $\sqrt{3}$.
　
∴OD= $\sqrt{OC^{2}-CD^{2}}$ =3.
∴半圆O的半径是3.

12. [2024石家庄模拟] 已知I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，连接DC，DB.
(1)在图①中，①求证：DC = DB；
②连接BI，CI，判断△IBC外心的位置，并证明.
(2)如图②，AB为△ABC的外接圆⊙O的直径，OI⊥AD于点I，已知DE切⊙O于点D，求tan∠ADE的值.
　　　　　　　

答案：

(1)①[证明]
∵I是△ABC的内心,
　
∴AI平分∠CAB.
∴∠CAD=∠BAD.
∴DC=DB.
　②[解]△IBC外心的位置在点D处.证明如下:
　
∵I是△ABC的内心，
　
∴BI平分∠CBA.
∴∠CBI=∠ABI.
　
∵∠DBC=∠DAC,∠DAC=∠BAD,
∴∠DBC=∠BAD.
∴∠DBI=∠CBI+∠DBC=∠ABI+∠BAD=∠DIB.
∴DI=DB,
∴DC=DI=DB.
∴D为△IBC的外心
(2)[解]连接OD,如图.
　
∵DE切⊙O于点D,
　
∴∠ODE=90°,即∠ODA+∠ADE=90°.
　
∵OD=OA,
∴∠ODA=∠OAD,
　
∵AB为△ABC的外接圆直径，
　
∴∠ADB=90°.
　
∴∠OAD+∠OBD=90°.
　
∴∠ADE=∠OBD.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵OI⊥AD,
∴DI=IA.
　
∵由
(1)得DI=DB,
∴AD=2DB.
　
∴tan∠ADE=tan∠ABD= $\frac{AD}{DB}$ =2.