《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册冀教版》

10. 新考法 分类讨论法 已知点P不在⊙O上，若点P到⊙O上的点的最小距离是4 cm，最大距离是9 cm，则⊙O的半径是______________.

答案：
6.5 cm或2.5 cm 【点拨】分为两种情况：

①当点P在圆内时，如图①，
∵点P到圆上的点的最小距离PB = 4 cm，最大距离PA = 9 cm，
∴直径AB = 4 + 9 = 13(cm)．
∴半径为6.5 cm．
②当点P在圆外时，如图②，
∵点P到圆上的点的最小距离PB = 4 cm，最大距离PA = 9 cm，
∴直径AB = 9 - 4 = 5(cm)．
∴半径为2.5 cm．
综上所述，⊙O的半径为6.5 cm或2.5 cm．

11. [2024·石家庄校级月考] 在△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 17，BC = 15. 以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是________.

答案： 9(答案不唯一) 【点拨】在Rt△ABC中，由勾股定理得AC = $\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{17^{2}-15^{2}} = 8$．
∵点C在⊙A内且点B在⊙A外，
∴8＜r＜17，
∴r的值可能是9．

12. [2024唐山期末] 如图，在平面直角坐标系中，A，B，C是⊙M上的三个点，A(0，4)，B(4，4)，C(6，2).
(1)圆心M的坐标为________；
(2)⊙M的半径为________；
(3)点D(4，－3)在⊙M________（填“内”“外”或“上”）.

答案：
(1)(2，0)
(2)2$\sqrt{5}$
(3)内 【点拨】
(2)连接MA．
∵A(0，4)，M(2，0)，
∴MA = $\sqrt{(2 - 0)^{2}+(0 - 4)^{2}} = 2\sqrt{5}$，
即⊙M的半径为2$\sqrt{5}$．
(3)连接ND．
∵M(2，0)，D(4， - 3)，
∴MD = $\sqrt{(4 - 2)^{2}+(-3 - 0)^{2}}=\sqrt{13}$．
∵$\sqrt{13}＜2\sqrt{5}$，
∴点D在⊙M内．

13. 情境题 生活应用 如图，铁路MN和公路PQ在点O处交会，∠QON = 30°，公路PQ上的A处距离点O 240 m. 如果火车行驶时，周围200 m以内会受到噪声的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以144 km/h的速度行驶时，A处是否会受到噪声影响？若会受到噪声的影响，求受到噪声影响的时间（不考虑火车的长度）.

答案：
【解】如图，过点A作AC⊥ON于点C．

∵∠QON = 30°，OA = 240 m，
∴AC = 120 m．
∵120 m＜200 m，
∴A处会受到噪声影响．
设火车到达B点时，A处开始受到噪声影响，火车到达D点时，A处开始不再受到噪声影响，连接AB，AD，此时AB = AD = 200 m．
∴由勾股定理易得BC = 160 m，CD = 160 m．
∴BD = 320 m．
∵144 km/h = 40 m/s，
∴受到噪声影响的时间是320÷40 = 8(s)．

14. 如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为(3，4)，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA，PB与x轴分别交于A，B两点，若点A，B关于原点O对称，则AB的最小值为（ ）
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8

答案：
C 【点拨】如图，连接OP．
∵PA⊥PB，
∴∠APB = 90°．
∵AO = BO，
∴AB = 2PO．
若要使AB取得最小值，则PO需取最小值．连接OM，交⊙M于点P'，
易知当点P位于点P'的位置时，OP取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，由M(3，4)知OQ = 3，MQ = 4，
∴OM = 5．
又
∵MP' = 2，
∴OP' = 3．
∴2OP' = 6，
即AB的最小值为6．

15. 新视角 动点探究题 如图，在矩形ABCD中，AB = 3 cm，BC = 8 cm，点P从点A向点D运动，运动的速度为1 cm/s，同时点Q从点C向点B运动，运动的速度为2 cm/s，运动时间为t s，若P，Q两点有一点停止，则另一点随之停止.
(1)若点Q正好在以PD为直径的圆上，试求出所有满足条件的t的值；
(2)若以点P为圆心，PA的长为半径画⊙P，试判断点Q与⊙P的位置关系，并说明理由.

答案：
【解】
(1)如图，连接PQ，DQ，过点Q作QE⊥AD于点E，则∠QED = ∠PEQ = 90°．
若点Q正好在以PD为直径的圆上，则∠PQD = 90°，
∴∠PQE+∠EQD = 90°，
又
∵∠EQD+∠EDQ = 90°，
∴∠PQE = ∠EDQ．
∴△PEQ∽△QED．
∴$\frac{PE}{QE}=\frac{EQ}{ED}$．
由题意得，PA = t cm，DE = CQ = 2t cm，QE = CD = 3 cm，
∴PE = 8 - t - 2t=(8 - 3t)cm．
∴$\frac{8 - 3t}{3}=\frac{3}{2t}$．
∴3²=(8 - 3t)·2t，解得t = $\frac{8\pm\sqrt{10}}{6}$．
易知0≤t≤4，
∴t = $\frac{8\pm\sqrt{10}}{6}$均符合题意．
∴满足条件的t的值为$\frac{8\pm\sqrt{10}}{6}$．
(2)点Q在⊙P外．理由如下：
∵AP² = t²，PQ² = QE² + PE² = 3²+(8 - 3t)²，
∴PQ² - AP² = 3²+(8 - 3t)² - t² = 8(t - 3)² + 1．
∵8(t - 3)²≥0，
∴8(t - 3)² + 1≥1＞0．
∴PQ² - AP²＞0．
∴PQ＞AP．
∴点Q在⊙P外．