《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册冀教版》

12. [2024扬州]如图，已知二次函数$y = -x^{2} + bx + c$的图像与$x$轴交于$A(-2,0)$，$B(1,0)$两点.
（1）求$b$，$c$的值；
（2）若点$P$在该二次函数的图像上，且$\triangle PAB$的面积为 6，求点$P$的坐标.

答案： [解]
(1)把A(−2，0)，B(1，0)的坐标代入y = -x² + bx + c，得$\begin{cases}-4 - 2b + c = 0\\-1 + b + c = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = -1\\c = 2\end{cases}$。
(2)由
(1)知，二次函数的表达式为y = -x² - x + 2，
设点P的坐标为(m，-m² - m + 2)。
∵△PAB的面积为6，AB = 1 - (-2) = 3，
∴S_△PAB = $\frac{1}{2}$AB·|y_P| = $\frac{1}{2}$×3×|-m² - m + 2| = 6。
∴|m² + m - 2| = 4，
∴m² + m - 2 = 4或m² + m - 2 = -4，
∴m = -3或m = 2。
∴点P的坐标为(−3，−4)或(2，−4)。

13. 如图，已知抛物线$y = -x^{2} - bx + c$与$x$轴交于点$A(-3,0)$和点$C$，与$y$轴交于点$B(0,3)$.
（1）求抛物线的表达式.
（2）设点$P$为抛物线的对称轴上一动点，当$\triangle PBC$的周长最小时，求点$P$的坐标.
（3）在第二象限的抛物线上是否存在一点$Q$，使得$\triangle ABQ$的面积最大？若存在，请直接写出点$Q$的坐标；若不存在，请说明理由.

答案： [解]
(1)
∵抛物线y = -x² - bx + c经过点A(−3，0)和点B(0，3)，
∴$\begin{cases}-9 + 3b + c = 0\\c = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = 2\\c = 3\end{cases}$。
∴抛物线的表达式为y = -x² - 2x + 3。
(2)
∵y = -x² - 2x + 3 = -(x + 1)² + 4，
∴抛物线的对称轴为直线x = -1。
令-x² - 2x + 3 = 0，
解得x₁ = -3，x₂ = 1，
∴C(1，0)。连接PA，AB。
∵点C与点A关于直线x = -1对称，点P在直线x = -1上，
∴PA = PC。
∵BC的长是个定值，PB + PC = PB + PA，
∴点P是AB与直线x = -1的交点时，PB + PC最小，此时△PBC的周长最小。
设直线AB的表达式为y = kx + m。
由A(−3，0)，B(0，3)可得$\begin{cases}-3k + m = 0\\m = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 1\\m = 3\end{cases}$。
∴直线AB的表达式为y = x + 3。
当x = -1时，y = 2，
∴所求的点P的坐标为(−1，2)。
(3)存在。Q(-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$)。

14. 如图，抛物线$y = \frac{1}{2}x^{2} - 4x + 6$与$y$轴交于点$A$，与$x$轴交于点$B$，线段$CD$在抛物线的对称轴上移动(点$C$在点$D$下方)，且$CD = 3$. 当$AD + BC$的值最小时，点$C$的坐标为______.

答案：
(4，1) [点拨]如图，作点A关于抛物线的对称轴对称的点A'，A'向下平移3个单位长度，得到A''，连接A''B交对称轴于点C，连接A'D，易知此时AD + BC的值最小，AD + BC = A'D + BC = A''C + BC = A''B。
在y = $\frac{1}{2}$x²−4x + 6中，令x = 0，则y = 6，
∴点A(0，6)。
令y = 0，则$\frac{1}{2}$x²−4x + 6 = 0，
解得x = 2或x = 6，
∴点B(2，0)。
∵抛物线的对称轴为直线x = −$\frac{−4}{2×\frac{1}{2}}$ = 4，
∴A'(8，6)，
∴A''(8，3)。
设直线A''B的表达式为y = kx + b，
将点A''，B的坐标代入，得$\begin{cases}8k + b = 3\\2k + b = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = \frac{1}{2}\\b = -1\end{cases}$
∴直线A''B的表达式为y = $\frac{1}{2}$x - 1。
当x = 4时，y = 1，
∴此时点C的坐标为(4，1)。

15. [2024广安]如图，抛物线$y = -\frac{2}{3}x^{2} + bx + c$与$x$轴交于$A$，$B$两点，与$y$轴交于点$C$，点$A$的坐标为$(-1,0)$，点$B$的坐标为$(3,0)$.
（1）求此抛物线的表达式.
（2）点$P$是直线$BC$上方抛物线上一个动点，过点$P$作$x$轴的垂线交直线$BC$于点$D$，过点$P$作$y$轴的垂线，垂足为点$E$，请探究$2PD + PE$是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时$P$点的坐标；若没有最大值，请说明理由.
（3）点$M$为该抛物线上的点，当$\angle MCB = 45^{\circ}$时，请直接写出所有满足条件的点$M$的坐标.

答案： [解]
(1)
∵抛物线y = -$\frac{2}{3}$x² + bx + c与x轴交于A，B两点，点A的坐标为(−1，0)，点B的坐标为(3，0)，
∴y = -$\frac{2}{3}$(x + 1)(x - 3) = -$\frac{2}{3}$x² + $\frac{4}{3}$x + 2。
(2)当x = 0时，y = 2，
∴C(0，2)。
设直线BC的表达式为y = kx + 2。将点B的坐标代入，得3k + 2 = 0，解得k = -$\frac{2}{3}$。
∴直线BC的表达式为y = -$\frac{2}{3}$x + 2。
设P(x，-$\frac{2}{3}$x² + $\frac{4}{3}$x + 2)(0＜x＜3)，
则D(x，-$\frac{2}{3}$x + 2)，
∴2PD + PE = 2(-$\frac{2}{3}$x² + $\frac{4}{3}$x + 2 + $\frac{2}{3}$x - 2)+x = -$\frac{4}{3}$x² + 5x。
∵-$\frac{4}{3}$＜0，
∴当x = -$\frac{5}{2×(-\frac{4}{3})}$ = $\frac{15}{8}$时，2PD + PE有最大值$\frac{75}{16}$，
此时P($\frac{15}{8}$，$\frac{69}{32}$)。
(3)M的坐标为($\frac{17}{10}$，$\frac{117}{50}$)或($\frac{19}{2}$，-$\frac{91}{2}$)。