《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册冀教版》

1. 母题教材P31习题B组T2 若二次函数$y = ax^{2}$的图像经过点$P(2,4)$，则该图像必经过点（ ）
A. $(-2,-4)$
B. $(-2,4)$
C. $(-4,2)$
D. $(4,-2)$

答案： B

2. 对于函数$y = 5x^{2}$，下列结论正确的是（ ）
A. $y$随$x$的增大而增大
B. 图像开口向下
C. 图像关于$y$轴对称
D. 无论$x$取何值，$y$的值总是正的

答案： C

3. [2024广东] 若点$(0,y_{1})$，$(1,y_{2})$，$(2,y_{3})$都在二次函数$y = x^{2}$的图像上，则（ ）
A. $y_{3}＞y_{2}＞y_{1}$
B. $y_{2}＞y_{1}＞y_{3}$
C. $y_{1}＞y_{3}＞y_{2}$
D. $y_{3}＞y_{1}＞y_{2}$

答案： A

4. 新视角 条件开放题 如果抛物线$y=(2a - 1)x^{2}$开口向下，那么实数$a$的值可能是_______.

答案： -2(答案不唯一)

5. [2024沧州期末] 已知二次函数$y=(2 - k)x^{2}$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，则实数$k$的取值范围是_______.

答案： $k ＜ 2$

6. 在同一平面直角坐标系中，分别画出二次函数$y = x^{2}$，$y=\frac{1}{2}x^{2}$，$y = 2x^{2}$的图像.

答案：
【解】①列表：

②描点：如图所示.
③连线：如图所示.

点易错
(1)二次函数的自变量的取值范围是一切实数，所以函数的图像是向两端无限延伸的；
(2)连线时，必须按自变量由小到大(或由大到小)的顺序，并且用光滑的曲线依次连接，切忌用线段连接或漏点、跨点连接.

7. 已知$y=(k + 2)x^{k^{2}+k - 4}$是二次函数，且函数图像有最高点.
(1)求$k$的值；
(2)求函数图像的顶点坐标和对称轴.

答案： 【解】
(1)$\because y=(k + 2)x^{k^{2}+k - 4}$是二次函数，
$\therefore k^{2}+k - 4 = 2$且$k + 2\neq0$.
$\therefore k = - 3$或$k = 2$.$\because$函数图像有最高点，$\therefore k + 2 ＜ 0$.
$\therefore k ＜ - 2$，$\therefore k = - 3$.
(2)$\because k = - 3$，$\therefore$二次函数的表达式为$y = - x^{2}$.
$\therefore$函数图像的顶点坐标为$(0,0)$，对称轴是$y$轴.

8. [2024保定模拟] 在同一平面直角坐标系中，二次函数$y = mx^{2}$与一次函数$y = mx + m$的大致图像可能是（ ）

答案： A

9. [2024石家庄校级模拟] 如图，$\odot O$的半径为2，$C_{1}$是函数$y = x^{2}$的图像，$C_{2}$是函数$y=-x^{2}$的图像，则阴影部分的面积是（ ）

A. $\pi$
B. $2\pi$
C. $4\pi$
D. 都不对

答案： B 【点拨】$\because C_{1}$是函数$y = x^{2}$的图像，$C_{2}$是函数$y = - x^{2}$的图像，$\therefore$两函数图像关于$x$轴对称.$\therefore$阴影部分的面积即为半圆面积.$\therefore$阴影部分的面积$=\frac{1}{2}\pi\times2^{2}=2\pi$.

10. 如图，正方形四个顶点的坐标依次为$(1,1)$，$(3,1)$，$(3,3)$，$(1,3)$. 若抛物线$y = ax^{2}$与正方形有公共点，则实数$a$的取值范围是（ ）

A. $\frac{1}{9}\leqslant a\leqslant3$
B. $\frac{1}{9}\leqslant a\leqslant1$
C. $\frac{1}{3}\leqslant a\leqslant3$
D. $\frac{1}{3}\leqslant a\leqslant1$

答案： A 【点拨】当抛物线$y = ax^{2}$经过点$(1,3)$时，$3 = a\times1^{2}$，解得$a = 3$.当抛物线$y = ax^{2}$经过点$(3,1)$时，$1 = a\times3^{2}$，解得$a=\frac{1}{9}$.$\because$抛物线$y = ax^{2}$开口向上，$\therefore a$的值越大，开口越小.$\therefore$当抛物线$y = ax^{2}$与正方形有公共点时，$\frac{1}{9}\leq a\leq3$.