《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册冀教版》

1. 情境题 生活应用 如图是记录的日出美景，图中的太阳与海天的交界处可看成圆与直线，则它们的位置关系是（ ）

A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 平行

答案： A

2. 母题 教材P7习题A组T1 如果一条直线与圆有公共点，那么该直线与圆的位置关系是（ ）
A. 相交
B. 相离
C. 相切
D. 相交或相切

答案： D

3. [2024承德期末] 已知⊙O的半径OE = $\sqrt{3}$，若OF = 2，则直线EF与⊙O的位置图形可能为（ ）

答案： A

4. ⊙O的直径为10，直线l与⊙O相交，圆心O到l的距离为d，则下列结论正确的是（ ）
A. d＞5
B. 0≤d＜5
C. d = 5
D. d = 10

答案： B

5. 已知⊙O的半径r是一元二次方程$x^{2}-2x - 3 = 0$的一个根，圆心O到直线l的距离d = 4，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 不能确定

答案： C

6. [2024邯郸期中] 如图，在矩形ABCD中，AB = 4，BC = 3，以点B为圆心，r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围为______.

答案： $3\leq r\leq5$

7. 如图，在△ABC中，AB = AC = 4 cm，∠BAC = 120°，以底边BC的中点D为圆心，1 cm为半径的⊙D与AB有怎样的位置关系？以点D为圆心，分别以$\sqrt{3}$cm，2 cm为半径的⊙D与AB又有怎样的位置关系？

答案：
【解】如图，连接AD，作$DH\perp AB$于点H.
$\because AB = AC = 4\ cm$，$\angle BAC = 120^{\circ}$，D为BC的中点，
$\therefore AD\perp BC$，$\angle B=\angle C = 30^{\circ}$.
$\therefore$在$Rt\triangle ABD$中，易得$AD = 2\ cm$，$BD = 2\sqrt{3}\ cm$.
在$Rt\triangle BDH$中，$\angle B = 30^{\circ}$，$BD = 2\sqrt{3}\ cm$，$\therefore DH=\sqrt{3}\ cm$.
$\because 1\ cm＜\sqrt{3}\ cm$，$\sqrt{3}\ cm=\sqrt{3}\ cm$，$2\ cm＞\sqrt{3}\ cm$，
$\therefore$以$1\ cm$为半径的$\odot D$与AB相离，以$\sqrt{3}\ cm$为半径的$\odot D$与AB相切，以$2\ cm$为半径的$\odot D$与AB相交.

8. [2024唐山期末] 在平面直角坐标系xOy中，以点A(1,3)为圆心，2为半径作⊙A，下列判断正确的是（ ）
A. ⊙A与x轴相交
B. ⊙A与y轴相切
C. 点O在⊙A外
D. 点(1,1)在⊙A内

答案： C

9. [2024上海虹口区模拟] 在□ABCD中，BC = 5，$S_{□ABCD}=20$. 如果以顶点C为圆心，BC长为半径作⊙C，那么⊙C与边AD所在直线的公共点的个数是（ ）
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0

答案： B 【点拨】作$CH\perp DA$所在直线于点H.
$\because S_{\square ABCD}=BC\cdot CH = 20$，$\therefore CH=\frac{20}{BC}=\frac{20}{5}=4$.
$\because 4＜5$，$\therefore$直线AD与$\odot C$相交，
$\therefore\odot C$与直线AD有2个公共点，故选B.

10. 易错题 在直角坐标系中，以点P(1,2)为圆心，r为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，则r应满足（ ）
A. r = 2或$\sqrt{5}$
B. r = 2
C. r = $\sqrt{5}$
D. 2≤r≤$\sqrt{5}$

答案：
A 【点拨】$\because$以点$P(1,2)$为圆心，$r$为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，$\therefore\odot P$与$x$轴相切（如图①）或$\odot P$过原点（如图②）. 当$\odot P$与$x$轴相切时，$r = 2$；当$\odot P$过原点时，连接OP，$r = OP=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$. $\therefore r = 2$或$\sqrt{5}$.

△点易错 本题中$\odot P$与坐标轴恰好有三个交点，可以分为两种情况：$\odot P$与$x$轴相切或$\odot P$过原点，不要漏掉过原点这一种情况.

11. 如图，在直线l上有相距12 cm的两点A和O(点A在点O的右侧)，以O为圆心作半径为2 cm的圆，过点A作直线AB⊥l. 将⊙O以2 cm/s的速度向右移动(点O始终在直线l上)，则经过______s，⊙O与直线AB相切.

答案： 5或7 【点拨】设经过$t\ s$，$\odot O$与直线AB相切. 当点C到AB的距离为$2\ cm$时，$\odot O$与AB相切，$\because$开始时点C到AB的距离为$12\ cm$，
$\therefore$当圆向右移动$12 - 2 = 10(cm)$或$12 + 2 = 14(cm)$时，点O到AB的距离为$2\ cm$.
$\therefore t = 10\div2 = 5$或$t = 14\div2 = 7$.
$\therefore$经过$5\ s$或$7\ s$，$\odot O$与直线AB相切.