《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册冀教版》

1. [2024邯郸校级期中] 已知顶点为(2，4)的抛物线过点(4，0)，则此抛物线的表达式是 ( )
A. $y = -(x - 2)^2 + 4$ B. $y = (x - 2)^2 - 4$
C. $y = (x - 2)^2 + 4$ D. $y = -(x - 2)^2 - 4$

答案： A

2. 已知二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图像如图所示，那么这个函数的表达式为 ( )
A. $y = \frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x + 1$ B. $y = \frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x - 1$
C. $y = \frac{1}{3}x^2 - \frac{2}{3}x - 1$ D. $y = \frac{1}{3}x^2 - \frac{2}{3}x + 1$
　　　

答案： C

3. [2024陕西] 已知一个二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的自变量 $x$ 与函数 $y$ 的几组对应值如下表:
　　　
则下列关于这个二次函数的结论正确的是 ( )
A. 图像开口向上
B. 当 $x ＞ 0$ 时，$y$ 的值随 $x$ 值的增大而减小
C. 图像经过第二、三、四象限
D. 图像的对称轴是直线 $x = 1$

答案： D 【点拨】由题得$\begin{cases}4a - 2b + c = -8, \\ c = 0, \\ 9a + 3b + c = -3, \end{cases}$解得$\begin{cases}a = -1, \\ b = 2, \\ c = 0. \end{cases}$
所以该二次函数的表达式为$y = -x^{2} + 2x$.
因为$a = -1 ＜ 0$，所以二次函数的图像开口向下.
故 A 选项不符合题意.
因为$y = -x^{2} + 2x = -(x - 1)^{2} + 1$，
所以当$x ＞ 1$时，$y$随$x$的增大而减小.
故 B 选项不符合题意.
令$y = 0$，得$-x^{2} + 2x = 0$，解得$x_{1} = 0$，$x_{2} = 2$，
所以二次函数的图像与$x$轴的交点坐标为$(0,0)$和$(2,0)$.
又易知二次函数的图像的顶点坐标为$(1,1)$，
所以二次函数的图像经过第一、三、四象限.
故 C 选项不符合题意.
因为二次函数的表达式为$y = -(x - 1)^{2} + 1$，
所以二次函数的图像的对称轴为直线$x = 1$.
故 D 选项符合题意. 故选 D.

4. [新视角 结论开放题] 有一条抛物线，两名同学分别说了它的一个特点：
甲：对称轴是直线 $x = 4$；
乙：顶点到 $x$ 轴的距离为 2.
请你写出一个符合以上特点的抛物线的表达式：____________.

答案： $y = x^{2} - 8x + 18$(答案不唯一)

5. 如图，抛物线 $y = ax^2 + bx - 3$ 与 $y$ 轴交于点 $C$，与 $x$ 轴交于 $A$，$B$ 两点，若 $OB = OC = 3OA$，则该抛物线的表达式是________________.
　　　

答案： $y = x^{2} - 2x - 3$ 【点拨】当$x = 0$时，$y = -3$，$\therefore C(0,-3)$.
$\therefore OC = 3$. $\because OB = OC = 3OA$，$\therefore OB = 3$，$OA = 1$. $\therefore B(3,0)$，$A(-1,0)$. 将$(3,0)$，$(-1,0)$代入$y = ax^{2} + bx - 3$，得
$\begin{cases}0 = 9a + 3b - 3, \\ 0 = a - b - 3, \end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1, \\ b = -2. \end{cases}$ $\therefore$该抛物线的表达式是$y = x^{2} - 2x - 3$.

6. 已知二次函数的图像经过点(4，-3)，并且当 $x = 3$ 时，函数有最大值 4，求出对应的二次函数的表达式.

答案： 【解】$\because$当$x = 3$时，函数有最大值 4，$\therefore$函数图像的顶点坐标为$(3,4)$. $\therefore$设此函数的表达式是$y = a(x - 3)^{2} + 4$.
把$(4,-3)$代入，得$a\times(4 - 3)^{2} + 4 = -3$，解得$a = -7$，
$\therefore$该函数的表达式是$y = -7(x - 3)^{2} + 4$，即$y = -7x^{2} + 42x - 59$.
点方法 当已知抛物线的顶点坐标或对称轴和函数的最值，又知抛物线上另一点时，通常设函数表达式为$y = a(x - h)^{2} + k$，把另一点的坐标代入，解关于$a$的一元一次方程即可得解. 一般把结果化成一般形式.

7. [易错题 [2024承德期末] 甲、乙、丙三名同学每人抽取一张卡片，每张卡片上有一个形如 $y = ax^2 + bx$ 的二次函数的表达式，其中只有一人与其他两人抽到的函数表达式不同. 下面是他们对抽到的函数表达式所对应的图像的描述：
甲：开口向下；乙：顶点在第三象限；丙：经过点(-2，0)，(1，3). 根据描述可知，与其他两人抽到的函数表达式不同的是 ( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 都有可能

答案： A 【点拨】$\because$二次函数$y = ax^{2} + bx$的图像经过原点，
$\therefore$当二次函数的图像开口向下时，顶点不可能在第三象限，$\therefore$甲、乙两人抽到的函数表达式不同. 若二次函数的图像开口向下，且过点$(-2,0)$，$(0,0)$，则易知二次函数的图像不可能经过点$(1,3)$，$\therefore$甲、丙两人抽到的函数表达式不同. $\therefore$与其他两人抽到的函数表达式不同的是甲.

8. [2024唐山校级月考] 形状与抛物线 $y = -x^2 - 2$ 相同，对称轴是直线 $x = -2$，且过点(0，3)的抛物线的表达式是 ( )
A. $y = x^2 + 4x + 3$
B. $y = -x^2 - 4x + 3$
C. $y = -x^2 + 4x + 3$
D. $y = x^2 + 4x + 3$ 或 $y = -x^2 - 4x + 3$

答案： D 【点拨】设所求抛物线的表达式为$y = ax^{2} + bx + c$，由抛物线过点$(0,3)$，可得$c = 3$. 抛物线的形状与$y = -x^{2} - 2$相同，分为两种情况：①开口向下，则$a = -1$，$\because$对称轴是直线$x = -2$，$\therefore -\frac{b}{2\times(-1)} = -2$. $\therefore b = -4$. ②开口向上，则$a = 1$，$\because$对称轴是直线$x = -2$，$\therefore -\frac{b}{2\times1} = -2$.
$\therefore b = 4$. $\therefore$所求抛物线的表达式是$y = x^{2} + 4x + 3$或$y = -x^{2} - 4x + 3$.

9. 如图，已知平面直角坐标系中的四个点：$A(0，2)$，$B(1，0)$，$C(3，1)$，$D(2，3)$. 抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 经过其中任意三个点，当 $a$ 的值最大时，抛物线的表达式为____________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： $y = \frac{5}{2}x^{2} - \frac{9}{2}x + 2$ 【点拨】由题图知，经过$A$，$B$，$D$三点的抛物线开口向上，则$a ＞ 0$.
经过$A$，$B$，$C$三点的抛物线开口向上，则$a ＞ 0$.
经过$B$，$C$，$D$三点的抛物线开口向下，则$a ＜ 0$.
经过$A$，$D$，$C$三点的抛物线开口向下，则$a ＜ 0$.
又$\because$经过$A$，$B$，$D$三点的抛物线的开口小于经过$A$，$B$，$C$三点的抛物线的开口，
$\therefore$当抛物线经过$A$，$B$，$D$三点时，$a$的值最大.
把$A(0,2)$，$B(1,0)$，$D(2,3)$的坐标代入$y = ax^{2} + bx + c$，
得$\begin{cases}c = 2, \\ a + b + c = 0, \\ 4a + 2b + c = 3, \end{cases}$解得$\begin{cases}a = \frac{5}{2}, \\ b = -\frac{9}{2}, \\ c = 2. \end{cases}$
$\therefore$当$a$的值最大时，抛物线的表达式为$y = \frac{5}{2}x^{2} - \frac{9}{2}x + 2$.