《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册冀教版》

10. 如图，正方形四个顶点的坐标依次为 $(1,-1)$，$(3,-1)$，$(3,-3)$，$(1,-3)$，若抛物线 $y = ax^{2}$ 与正方形的边有公共点，则实数 $a$ 的取值范围是__________.

答案： $-3≤a≤-\frac{1}{9} [$点拨]
∵抛物线的表达式为y=ax²，
∴当抛物线经过(1，-3)时，a=-3，当抛物线经过(3，-1)时，$a=-\frac{1}{9}.$
∴a的取值范围是$-3≤a≤-\frac{1}{9}.$

11. (12分)已知抛物线 $y = a(x + 4)^{2}+4(a\neq0)$ 经过点 $(2,-2)$.
(1)$a$ 的值为________；
(2)若点 $A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})(x_{1}\lt x_{2}\lt - 4)$ 都在该抛物线上，试比较 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小.

答案： [解$](1)-\frac{1}{6} [$点拨]
∵抛物线y=a(x+4)²+4(a≠0)过点(2，-2)，
∴-2=a(2+4)²+4，解得$a=-\frac{1}{6}.(2)$由
(1)可知抛物线的开口向下，
∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大.易知其对称轴为直线x=-4.
∵x₁＜x₂＜-4，
∴y₁＜y₂.

12. (14分)[2024廊坊校级月考] 已知抛物线 $y=-x^{2}+c$ 经过点 $(-2,a)$ 和点 $(2,b)$.
(1)写出该抛物线的对称轴，并直接写出 $a$，$b$ 的大小关系.
(2)若该抛物线经过点 $A(3,-5)$.
①$c =$________；
②当 $-1\lt x\lt2$ 时，求 $y$ 的取值范围；
③若抛物线先向下平移4个单位长度，再向右平移 $m(m\gt0)$ 个单位长度后再次经过点 $A$，请直接写出 $m$ 的值.

答案： [解]
(1)该抛物线的对称轴是y轴.
a=b.
(2)①4
②由①知，抛物线的表达式为y=-x²+4，
当x=0时，y=4，
当x=2时，y=-4+4=0，
∴当-1＜x＜2时，$0＜y≤4.③m=3+\sqrt{5}$或$m=3-\sqrt{5}. [$点拨]将抛物线先向下平移4个单位长度，再向右平移m(m＞0)个单位长度后得到抛物线y=-(x-m)²+4-4，即y=-(x-m)².
∵平移后的抛物线经过点A，
∴-5=-(3-m)²，解得$m=3+\sqrt{5}$或$m=3-\sqrt{5}.$

13. (20分) 新视角 新定义型题 如图，在平面直角坐标系中，点 $P$ 从原点 $O$ 出发，沿 $x$ 轴向右以每秒1个单位长度的速度运动 $t(t\gt0)$ 秒，抛物线 $y = x^{2}+bx + c$ 经过点 $O$ 和点 $P$. 已知矩形 $ABCD$ 的三个顶点分别为 $A(1,0)$，$B(1,-5)$，$D(4,0)$.
(1)求 $c$，$b$(用含 $t$ 的代数式表示).
(2)嘉琪认为：当这条抛物线经过点 $B$ 时，一定不会经过点 $C$. 请你通过计算说明他的说法是否正确.
(3)当 $1\lt t\lt6$ 时，设抛物线与线段 $AB$ 交于点 $M$. 在点 $P$ 的运动过程中，你认为 $\angle AMP$ 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出 $\angle AMP$ 的度数.
(4)在矩形 $ABCD$ 的内部(不含边界)，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”. 若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出 $t$ 的取值范围.

答案： [解]
(1)由题意得OP=t(t＞0)，
∴P(t，0).
∵y=x²+bx+c经过点O和点P，
∴$\begin{cases}0+0+c=0，$$\\t²+bt+c=0.\end{cases}$解得$\begin{cases}c=0，$$\\b=-t.\end{cases}(2)$嘉琪的说法正确，理由如下：
∵矩形ABCD的三个顶点分别为A(1，0)，B(1，-5)，D(4，0)，
∴C(4，-5).
由
(1)得y=x²-tx，把B(1，-5)代入，得1-t=-5，解得t=6，
∴当抛物线经过点B时，抛物线的表达式为y=x²-6x.当x=4时，y=16-24=-8≠-5，
∴点C不在抛物线上.
∴嘉琪的说法正确.
(3)不变.在点P运动的过程中，OP=t，
∵A(1，0)，1＜t＜6，
∴AP=t-1.
∵抛物线y=x²-tx与线段AB交于点M，
∴M(1，1-t).
∴AM=t-1.
∴AM=AP.
在矩形ABCD中，∠BAD=90°，
∴tan∠AMP=\frac{AP}{AM}=1.
∴∠AMP=45°.
(4)\frac{7}{2}＜t＜\frac{11}{3}. [点拨]在矩形ABCD中共有8个“好点”.
Ⅰ.若左边4个“好点”在抛物线上方，右边4个“好点”在抛物线下方，则当x=2时，y＜-4，x=3时，y＞-1，
即$\begin{cases}4-2t$＜-4，\\9-3t＞-1，$\end{cases}$解得$\begin{cases}t＞4，$$\\t$＜\frac{10}{3}，\end{cases}
∴此时无解.
Ⅱ.若左边3个“好点”在抛物线上方，右边3个“好点”在抛物线下方，则当x=2时，-4＜y＜-3，当x=3时，-2＜y＜-1，即-4＜4-2t＜-3，-2＜9-3t＜-1，
∴\frac{7}{2}＜t＜4且\frac{10}{3}＜t＜\frac{11}{3}.
∴\frac{7}{2}＜t＜\frac{11}{3}.
Ⅲ.若左边2个“好点”在抛物线上方，右边2个“好点”在抛物线下方，则当x=2时，-3＜y＜-2，当x=3时，-3＜y＜-2，即-3＜4-2t＜-2，-3＜9-3t＜-2，此时无解.
Ⅳ.若左边1个“好点”在抛物线上方，右边1个“好点”在抛物线下方，则当x=2时，-2＜y＜-1，当x=3时，-4＜y＜-3，即-2＜4-2t＜-1，-4＜9-3t＜-3，此时无解.
Ⅴ.若左边0个“好点”在抛物线上方，右边0个“好点”在抛物线下方，则当x=2时，y＞-1，当x=3时，y＜-4，即4-2t＞-1，9-3t＜-4，此时无解.
综上，t的取值范围是$\frac{7}{2}＜t＜\frac{11}{3}.$