《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册冀教版》

8. [2024唐山期末]把横、纵坐标都是整数的点叫做整点. 抛物线$y = -x^{2} + 1$与$x$轴的交点为$A$，$B$，抛物线在点$A$，$B$之间的部分与线段$AB$所围成的区域内(包括边界)共有整点（ ）
A. 2 个
B. 3 个
C. 4 个
D. 4 个以上

答案： C

9. [2024邢台模拟]我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点. 如图，抛物线$C_{1}:y = -x^{2} + 2x + 4$与$C_{2}:y = (x - m)^{2}(m$是常数)围成的封闭区域(边界除外)内整点的个数不可能是（ ）

A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个

答案：
C [点拨]
∵抛物线C₂:y = (x - m)²，
∴顶点在x轴上，其余部分均在x轴上方，与y轴交于(0，m²)。
∵抛物线C₁:y = -x² + 2x + 4 = -(x - 1)² + 5，
∴对称轴为直线x = 1，且x轴与抛物线C₁围成的封闭区域内的整点有(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，共10个。
当抛物线C₁与C₂围成的封闭区域内在y轴上只有整点(0，3)时，如图①。
此时2≤m²＜3且m≤0，
∴−$\sqrt{3}$＜m≤−$\sqrt{2}$。
当x = 1时，y = (1 - m)²＞5，
∴只有一个整点。
当抛物线C₁与C₂围成的封闭区域内在y轴上有整点(0，2)，(0，3)时，如图②。
此时1≤m²＜2且m≤0，
∴−$\sqrt{2}$＜m≤−1。
当x = 1时，y = (1 - m)²≥4。
∴只有2个整点。
当抛物线C₁与C₂围成的封闭区域内在y轴上有整点(0，2)，(0，3)，(0，1)时，如图③。
此时0≤m²＜1且m≤0，
∴−1＜m≤0。
当x = 1时，y = (1 - m)²＜4，
此时封闭区域内必定有(1，4)这个整点，即至少有4个整点。
令(1 - m)²≥3，得m≥$\sqrt{3}$ + 1或m≤1 - $\sqrt{3}$，结合−1＜m≤0，知−1＜m≤1 - $\sqrt{3}$，此时封闭区域内只有4个整点。
∴整点的个数不能为3个。

10. [2024石家庄桥西区模拟]在平面直角坐标系$xOy$中，有抛物线$y = x^{2} - 2x + m - 2$. 我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”.
（1）当$m = - 1$时，
①求该抛物线的顶点坐标；
②求该抛物线与$x$轴围成的封闭图形的边界上的整点数.
（2）若该抛物线与直线$y = 5$围成的封闭区域内（不含边界）有 4 个整点，直接写出$m$的取值范围.

答案：
[解]
(1)①当m = -1时，
y = x²−2x + m - 2 = x²−2x - 3 = (x - 1)²−4，
∴该抛物线的顶点坐标为(1，−4)。
②令y = 0，则x²−2x - 3 = 0，解得x₁ = -1，x₂ = 3，
∴抛物线y = x²−2x - 3与x轴的交点为(3，0)和(−1，0)。
令x = 0，得y = -3，
∴抛物线过点(0，−3)。
∵抛物线关于直线x = 1对称，
∴抛物线过点(2，−3)。
在平面直角坐标系中画出抛物线，如图所示。
由图可知，抛物线y = x²−2x - 3与x轴围成的封闭图形的边界上有(3，0)，(2，0)，(1，0)，(0，0)，(−1，0)，(0，−3)，(1，−4)，(2，−3)8个整点。
(2)5≤m＜6。

11. [2024广州]已知抛物线$G:y = ax^{2} - 6ax - a^{3} + 2a^{2} + 1(a ＞ 0)$过点$A(x_{1},2)$和点$B(x_{2},2)$，直线$l:y = m^{2}x + n$过点$C(3,1)$，交线段$AB$于点$D$，记$\triangle CDA$的周长为$C_{1}$，$\triangle CDB$的周长为$C_{2}$，且$C_{1} = C_{2} + 2$.
（1）求抛物线$G$的对称轴.
（2）求$m$的值.
（3）直线$l$绕点$C$以每秒$3^{\circ}$的速度顺时针旋转$t$秒后$(0\leq t ＜ 45)$得到直线$l'$，当$l'// AB$时，直线$l'$交抛物线$G$于$E$，$F$两点.
①求此时$t$的值；
②设$\triangle AEF$的面积为$S$，若对于任意的$a ＞ 0$，均有$S\geq k$成立，求$k$的最大值以及当$S$等于$k$的最大值时抛物线$G$的表达式.

答案： [解]
(1)由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x = −$\frac{−6a}{2a}$ = 3。
(2)直线l:y = m²x + n过点C(3，1)，则该直线的表达式为y = m²(x - 3)+1，
当y = 2时，2 = m²(x - 3)+1，则x_D = $\frac{1}{m²}$ + 3。
∵C₁ = C₂ + 2，
∴AC + CD + AD = BC + CD + BD + 2。
∵抛物线的对称轴为直线x = 3，
∴点C在对称轴上，
∴AC = BC，
∴AD = BD + 2，
∴x_D - x₁ = x₂ - x_D + 2，即2x_D = x₁ + x₂ + 2。
由函数图像的对称性知x₁ + x₂ = 2×3 = 6，
∴2x_D = 8。
∴x_D = 4 = $\frac{1}{m²}$ + 3，解得m = ±1。
(3)①当m = ±1时，直线l的表达式为y = x - 2，
易得该直线和x轴的夹角为45°，
∴当l'//AB时，t = 45÷3 = 15。
②易得此时直线l'的表达式为y = 1。
则S = $\frac{1}{2}$EF·(y_A - y_E) = $\frac{1}{2}$EF。
联立直线l'和抛物线的表达式得ax²−6ax - a² + 2a² + 1 = 1，即x²−6x - a² + 2a = 0。
设点E，F的横坐标分别为e，f，则e + f = 6，ef = -a² + 2a，
∴EF² = (e - f)² = (e + f)² - 4ef = 4(a² - 2a + 9)，
∴S = $\frac{1}{2}$EF = $\sqrt{a² - 2a + 9}$ = $\sqrt{(a - 1)² + 8}$ ≥ 2$\sqrt{2}$，当a = 1时，等号成立。
∴k的最大值为2$\sqrt{2}$。
∵当a = 1时，S等于k的最大值，
∴此时抛物线G的表达式为y = x²−6x + 2。