《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册冀教版》

5. [2024德阳] 如图，已知⊙O的半径为5，B，C是⊙O上两定点，点A是⊙O上一动点，且∠BAC = 60°，∠BAC的平分线交⊙O于点D.
(1)证明：点D为BC上一定点；
(2)过点D作BC的平行线交AB的延长线于点F.
①判断DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
②若△ABC为锐角三角形，求DF的取值范围.

答案：

(1)【证明】连接OB，OD，如图①，
∵∠BAC = 60°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，
∴∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = 30°.
∴∠BOD = 2∠BAD = 60°.

∴BD所对的圆心角的度数是60°.
∵B为定点，
∴点D为BC上一定点.
(2)【解】①DF与⊙O相切.理由如下：
∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，
∴∠BAD = ∠CAD.
∴BD = CD.
∴OD⊥BC.
∵DF//BC，
∴OD⊥DF.
∵OD为⊙O的半径，
∴DF与⊙O相切.
②当∠A₁BC为直角时，连接OD交BC于点M，如图②，
∵∠A₁BC = 90°，∠BA₁C = 60°，
∴∠C = 30°，A₁C为⊙O的直径.
∵⊙O的半径为5，

∴A₁C = 10.
∴A₁B = $\frac{1}{2}$A₁C = 5.
∴BC = $\sqrt{A₁C² - A₁B²}$ = 5$\sqrt{3}$.
由①知，BD = CD，OD⊥BC，
∴BM = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{5\sqrt{3}}{2}$，∠BMD = 90°.
∵DF与⊙O相切，
∴∠FDM = 90°.
∵∠FBC = 180° - ∠A₁BC = 90°，
∴四边形BFDM是矩形.
∴DF = BM = $\frac{5\sqrt{3}}{2}$.
当∠A₂CB为直角时，连接OD，如图③，
∵∠A₂CB = 90°，∠BA₂C = 60°，
∴A₂B是⊙O的直径，∠A₂BC = 30°.
∵DF//BC，
∴∠F = ∠A₂BC = 30°.
∵DF与⊙O相切，

∴∠FDO = 90°.
∴在Rt△ODF中，OF = 2OD = 10.
∴DF = $\sqrt{OF² - OD²}$ = $\sqrt{10² - 5²}$ = 5$\sqrt{3}$.
易知，当A由A₁运动到A₂(不包括A₁，A₂)时，△ABC是锐角三角形，
∴DF的取值范围是$\frac{5\sqrt{3}}{2}$ ＜ DF ＜ 5$\sqrt{3}$.

6. 如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作⊙O，交CB于点F，点E在CD上，且CE = CF，连接AE，AC，AC交⊙O于点P.
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)若AP = √3，BF = 1，求⊙O的半径.

答案：

(1)【证明】如图，连接AF.
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ACF = ∠ACE.

又
∵CF = CE，AC = AC，
∴△ACF≌△ACE(SAS).
∴∠AFC = ∠AEC.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB = 90°.
∴∠AFC = 90°.
∴∠AEC = 90°.
易知AB//DC，
∴∠BAE + ∠AEC = 180°.
∴∠BAE = 90°.
∴OA⊥AE.
∵OA是⊙O的半径，
∴AE是⊙O的切线.
(2)【解】如图，连接BP.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB = 90°，即BP⊥AC.
易知AB = CB，又
∵AP = $\sqrt{3}$，
∴AC = 2AP = 2$\sqrt{3}$.
设⊙O的半径为R，则AB = 2R，
∴BC = 2R，
∴CF = 2R - 1.
∵AC² - CF² = AF²，AB² - BF² = AF²，
∴AC² - CF² = AB² - BF².
∴(2$\sqrt{3}$)² - (2R - 1)² = (2R)² - 1².
解得R = $\frac{3}{2}$(负值已舍去).
∴⊙O的半径为$\frac{3}{2}$.

7. [2024广东] 如图，在△ABC中，∠C = 90°.
(1)实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D(保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)应用与证明：在(1)的条件下，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D. 求证：AB与⊙D相切.

答案：

(1)【解】如图，AD即为所求.

(2)【证明】如图，作⊙D，过点D作DE⊥AB于点E.
∵∠C = 90°，
∴DC⊥AC.
∵AD平分∠BAC，
∴DE = CD.
∴DE为⊙D的半径.
∴AB与⊙D相切.