《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册冀教版》

1. 如图，过⊙O上一点A作⊙O的切线，可以作（ ）

A. 0条
B. 1条
C. 2条
D. 无数条

答案： B

2. [2024山西] 如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD. 若∠AOD=80°，则∠C的度数为（ ）

A. 30°
B. 40°
C. 45°
D. 50°

答案： D

3. 母题 教材P9练习T2 如图，线段AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接BD，∠E=40°，则∠CDB=（ ）

A. 20°
B. 25°
C. 40°
D. 50°

答案： B

4. 情境题 生活应用 [2024·沧州期末] 如图是一个钟表表盘，连接表示整点2和10的B，D两点并延长，交过表示整点8的点C的切线于点P，若表盘的半径长为$\sqrt{3}$，则PC的长为（ ）

A. 3
B. 2
C. 2$\sqrt{3}$
D. 3$\sqrt{3}$

答案：
B [点拨]设钟表表盘的中心为点O,连接BC,OD,如图，易知点O在BC上,∠DOC=2×30°=60°,

∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠DOC=30°.
∵PC与⊙O相切于点C,
∴∠BCP=90°.
∵表盘的半径长为$\sqrt{3}$，
∴BC=2$\sqrt{3}$，
∴CP=BC·tan30°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2.

5. [2024石家庄裕华区期末] 如图，点P是⊙O的半径OC的延长线上一点，过点P作⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦，连接AC，BC，若∠PAB=70°，则∠ACB的大小为_______.

答案： 110°

6. [2024盐城] 如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC，BC.
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AC=5，CD=4，求⊙O的半径.

答案：

(1)[证明]连接OC,如图.
∵l是⊙O的切线，
∴OC⊥l.

∵AD⊥l,
∴OC//AD,∠ADC=90°.
∴∠CAD=∠ACO.
∵OA=OC,
∴∠CAB=∠ACO,
∴∠CAD=∠CAB.
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°.
∴∠ADC=∠ACB=90°.
∴△ABC∽△ACD.
(2)[解]
∵AC=5,CD=4,∠ADC=90°,
∴AD=$\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}$=3.
∵△ABC∽△ACD,
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AC}{AD}$.
即$\frac{AB}{5}$=$\frac{5}{3}$.
∴AB=$\frac{25}{3}$.
∴⊙O的半径为$\frac{25}{6}$.

7. 如图，将量角器和一块含30°角的直角三角尺紧靠着放在同一平面内，使D，C，B在同一条直线上，且DC=2BC，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则点E在量角器上所对应的锐角度数是（ ）

A. 60°
B. 45°
C. 75°
D. 50°

答案：
A [点拨]如图，设量角器的圆心为O,连接OA,OE.
∵CD=2OC=2BC,
∴OC=BC;
∵∠ACB=90°,
∴AC⊥OB,

∴OA=BA.
∴∠AOC=∠ABC=60°.
∵AE是切线，OE是半径，
∴∠AEO=90°.
∴∠AEO=∠ACO=90°.
∵OA=OA,OE=OC,
∴Rt△AOE≌Rt△AOC.
∴∠AOE=∠AOC=60°.
∴∠EOD=180°−60°−60°=60°,故选A.

8. 母题 教材P21复习题A组T6 如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A，与y轴交于点B，C. 若圆心M的坐标是（4，5），则弦BC的长度为（ ）

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

答案：
D [点拨]如图，连接MA,MB,过点M作MN⊥y轴，
垂足为N,则BN=CN=$\frac{1}{2}$BC.
∵⊙M与x轴相切于点A,
∴MA⊥x轴.
∵圆心M的坐标是(4,5),
∴MA=5,MN=4.
∴MB=MA=5.
∴在Rt△BMN中,BN=$\sqrt{MB^{2}-MN^{2}}$=$\sqrt{5^{2}-4^{2}}$=3.
∴BC=2BN=6.