《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册冀教版》

1. [2024宿州模拟] 对于二次函数$y=(x + 3)^2$，下列说法不正确的是 （ ）
A. 图像的开口向上
B. 图像的对称轴是直线$x = - 3$
C. 图像的顶点坐标为$(-3,0)$
D. 当$x ＜ - 3$时，$y$随$x$的增大而增大

答案： D

2. 若抛物线$y=\frac{2}{3}(x - 1)^2 + c$经过$(-2,y_1)$，$(0,y_2)$，$(\frac{5}{2},y_3)$三点，则$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小关系为 （ ）
A. $y_1＞y_2＞y_3$
B. $y_2＞y_3＞y_1$
C. $y_3＞y_1＞y_2$
D. $y_1＞y_3＞y_2$

答案： D

3. [2024滨州] 将抛物线$y = - x^2$先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为________.

答案： (1,2)

4. 已知抛物线$y = a(x + 1)^2 + 2$过点$(0,y_1)$，$(3,y_2)$，若$y_1＞y_2$，则$a$的取值范围是________.

答案： $a＜0$

5. [新视角 动手操作题] 已知二次函数$y = -(x + 2)^2$.
(1)完成下表，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图像；
　　
(2)该函数图像的顶点坐标为________；
(3)结合图像，请直接写出当$x$取何值时，$y$随$x$的增大而减小.
　　　　　　　　　　　　

答案：
【解】
(1)0；-1；-4
函数图像如图所示.

(2)(-2,0)
(3)当$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而减小.

6. [易错题] 在平面直角坐标系中，如果抛物线$y = 3x^2$不动，把$x$轴、$y$轴分别向上、向右平移5个单位长度，那么在新坐标系中此抛物线的表达式是 （ ）
A. $y = 3(x - 5)^2 + 5$
B. $y = 3(x - 5)^2 - 5$
C. $y = 3(x + 5)^2 + 5$
D. $y = 3(x + 5)^2 - 5$

答案： D 【点拨】抛物线$y = 3x^2$的顶点坐标为(0,0)，把$x$轴、$y$轴分别向上、向右平移5个单位长度后，易知顶点的坐标变为(-5,-5)，所以在新坐标系中此抛物线的表达式为$y = 3(x + 5)^2 - 5$.

7. [易错题] 已知$a(a ＜ 0)$，$h(0 ＜ h ＜ 10)$，$k$为常数，且二次函数$y = a(x - h)^2 + k$的图像经过$(0,5)$，$(10,8)$两点. 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是 （ ）
结论Ⅰ：$h$的值可能为5；
结论Ⅱ：点$P(m,n)$在二次函数的图像上，若$n = 8$，则满足条件的点$P$有两个.
A. Ⅰ和Ⅱ都对
B. Ⅰ和Ⅱ都不对
C. Ⅰ不对，Ⅱ对
D. Ⅰ对，Ⅱ不对

答案： C 【点拨】$\because y = a(x - h)^2 + k$，$\therefore$该函数图像的对称轴为直线$x = h$.$\because a＜0$，$\therefore$该函数图像的开口向下.$\because$二次函数的图像经过(0,5)，(10,8)两点，$0 ＜ h ＜ 10$，$\therefore$易得$5 ＜ h ＜ 10$，$\therefore$结论Ⅰ不对.
由上述可知点(10,8)不是抛物线的顶点，$\therefore$函数的最大值大于8.
$\therefore$易得满足条件的点$P$有两个，故结论Ⅱ对. 故选C.

8. [2024邯郸期末] 已知二次函数$y=(x - h)^2 + 1$（$h$为常数），在自变量$x$的值满足$1\leqslant x\leqslant 3$的情况下，与其对应的函数值$y$的最小值为5，则$h$的值为 （ ）
A. 1或 - 5
B. - 1或5
C. 1或 - 3
D. 1或3

答案： B 【点拨】对于$y=(x - h)^2 + 1$，当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x ＜ h$时，$y$随$x$的增大而减小.
$\therefore$可分情况讨论：①若$h ＜ 1$，则当$x = 1$时，$y$取得最小值5，可得$(1 - h)^2 + 1 = 5$，解得$h = - 1$或$h = 3$(舍去).
②若$h＞3$，则当$x = 3$时，$y$取得最小值5，可得$(3 - h)^2 + 1 = 5$，解得$h = 5$或$h = 1$(舍去).
③若$1\leqslant h\leqslant 3$，则当$x = h$时，$y$取得最小值，此时$y = 1\neq5$，$\therefore$此情况不符合题意.
综上，$h$的值为-1或5.
点技巧 当二次函数的自变量受到限制时，它的最值不一定为图像顶点的纵坐标，这时，我们要通过分类讨论并结合函数的增减性进行判断.

9. 平面直角坐标系上有两个二次函数的图像，其顶点$M$，$N$皆在$x$轴上，且有一平行于$x$轴的直线与两图像分别相交于$A$，$C$，$B$，$D$四点，各点位置如图所示，若$AB = 12$，$BC = 4$，$CD = 6$，则$MN$的长是 （ ）
　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11

答案： B 【点拨】设$A(x,y)$，易得$B(x + 12,y)$，$C(x + 16,y)$，$D(x + 22,y)$，
$\therefore M$的横坐标为$\frac{x + x + 16}{2}=x + 8$，$N$的横坐标为$\frac{x + 12 + x + 22}{2}=x + 17$.$\therefore MN=x + 17-(x + 8)=9$.