《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册冀教版》

8. 如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD分别交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AD = 4，BC = 9，求⊙O的半径R.

答案：
(1)【证明】过点O作OE⊥CD于点E.
∵AM切⊙O于点A，
∴OA⊥AD.
又
∵DO平分∠ADC，
∴OE = OA.
∵OA是⊙O的半径，
∴OE是⊙O的半径.
∴CD是⊙O的切线.
(2)【解】过点D作DF⊥BC于点F.
∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，
∴AB⊥AD，AB⊥BC.
∴四边形ABFD是矩形.
∴BF = AD = 4，AB = DF.
∵BC = 9，
∴FC = 9 - 4 = 5.
∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，
∴DA = DE，CB = CE.
∴DC = DE + CE = AD + BC = 4 + 9 = 13.
在Rt△DFC中，DC² = DF² + FC²，
∴DF = $\sqrt{DC² - FC²}$ = $\sqrt{13² - 5²}$ = 12.
∴AB = 12，
∴⊙O的半径R是6.

9. 如图①，在四边形ABCD中，∠A = ∠B = 90°，AD + BC = CD，以AB为直径作⊙O.
(1)求证：CD与⊙O相切；
(2)如图②，若CD切⊙O于点E，连接OE，AC，OE与AC交于点F，若FC = 2AF，求BC/AD的值.

答案：

(1)【证明】如图①，连接CO并延长，与DA的延长线交于点H，过点O作OE⊥CD于点E，

易知∠OAH = ∠ABC = 90°，
又
∵∠AOH = ∠BOC，AO = BO，
∴△AOH≌△BOC(ASA).
∴AH = BC，HO = CO.
∵AD + BC = CD，
∴AH + AD = HD = CD.
∴∠H = ∠DCH.
又
∵∠OAH = ∠OEC = 90°，HO = CO，
∴△AHO≌△ECO(AAS).
∴AO = OE.
∴OE为⊙O的半径.
∵OE⊥CD.
∴CD与⊙O相切.
(2)【解】如图②，作CT⊥BC交OE的延长线于点T，连接AT.则∠TCB = 90°.
∴∠B + ∠TCB = 180°，
∴AB//CT.
∴易得△AFO∽△CFT.
∴$\frac{CF}{AF}$ = $\frac{CT}{AO}$ = 2.

∴CT = 2OA.
∵AB = 2OA，
∴CT = AB.
∴四边形ABCT是平行四边形.
∵∠B = 90°，
∴四边形ABCT是矩形.
∴∠ATC = 90°，AT//BC，AT = BC.
易知AD//BC，
∴A，D，T三点共线.
∵CD是⊙O的切线，∠A = ∠B = 90°，
∴OT⊥CD，DA = DE，CB = CE.
∴∠DET = ∠DTC = 90°.
又
∵∠TDE = ∠CDT，
∴△DTE∽△DCT.
∴$\frac{TD}{CD}$ = $\frac{DE}{DT}$.
∴TD² = DE·DC.
设AD = DE = x，CB = CE = AT = y，则DT = AT - AD = y - x，CD = DE + CE = x + y.
∴(y - x)² = x(x + y)，整理，得y² = 3xy，
∵y≠0，
∴y = 3x.
∴$\frac{BC}{AD}$ = $\frac{y}{x}$ = 3.