《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册冀教版》

7. 如图，抛物线与$x$轴交于$A$，$B$两点，与$y$轴交于点$C$，点$A$的坐标为$(2,0)$，点$C$的坐标为$(0,3)$，抛物线的对称轴是直线$x = -\frac{1}{2}$。
(1)求抛物线的表达式；
(2)$M$是线段$AB$上的任意一点，当$\triangle MBC$为等腰三角形时，求点$M$的坐标。

答案： 【解】
(1)设抛物线的表达式为y = a(x+$\frac{1}{2}$)² + k。
　把点A(2,0),C(0,3)的坐标代入,得$\begin{cases}\frac{25}{4}a + k = 0\\\frac{1}{4}a + k = 3\end{cases}$
　解得$\begin{cases}a = -\frac{1}{2}\\k = \frac{25}{8}\end{cases}$，
∴y =－$\frac{1}{2}$(x+$\frac{1}{2}$)²+$\frac{25}{8}$
　即y =－$\frac{1}{2}$x² - $\frac{1}{2}$x + 3。
(2)
∵A(2,0)，抛物线的对称轴是直线x =－$\frac{1}{2}$，
∴B(－3,0)。①当CM = BM时,
∵BO = CO = 3,
∴点M在原点O处。
∴点M的坐标为(0,0)。
　　②当BC = BM时,在Rt△BOC中,BO = CO = 3,
∴由勾股定理得BC=$\sqrt{OC^{2}+OB^{2}}$=3$\sqrt{2}$,
∴BM = 3$\sqrt{2}$
　
∴点M的坐标为(3$\sqrt{2}$ - 3,0)。
　　③当BC = CM时，易知此时点M不在线段AB上，不合题意。
　　综上所述，点M的坐标为(0,0)或(3$\sqrt{2}$ - 3,0)。

8. 小英在用“描点法”探究二次函数性质时，得出了以下表格，不幸的是，部分数据已经遗忘（如表所示），小英只记得遗忘的三个数中$(M,R,A)$有两个数相同。根据以上信息，小英探究的二次函数的表达式可能是（ ）

A. $y = x^{2}-3x - 2$ B. $y = \frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{4}x-\frac{9}{2}$
C. $y = 2x^{2}-5x - 1$ D. $y = \frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x - 3$

答案： B 【点拨】A.函数y = x² - 3x - 2图像的对称轴为直线x=$\frac{3}{2}$,B.函数y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{4}$x - $\frac{9}{2}$图像的对称轴为直线x =－$\frac{1}{2}$,C.函数y = 2x² - 5x - 1图像的对称轴为直线x=$\frac{5}{4}$,
D.函数y=$\frac{1}{2}$x² - $\frac{3}{2}$x - 3图像的对称轴为直线x=$\frac{3}{2}$。若M与R相同，则该二次函数图像的对称轴为直线x =－$\frac{1}{2}$，只有B选项符合，将(1,−4)，(2,−3)代入表达式，均符合;若M与A相同，则该二次函数图像的对称轴为直线x = 1，没有选项符合;若R与A相同，则该二次函数图像的对称轴为直线x=$\frac{3}{2}$，选项A，D符合，但将(2,−3)代入它们的表达式，却均不符合。故选B。

10. 新视角 最值探究题 如图，已知抛物线$y = ax^{2}+3ax + c(a\gt0)$与$y$轴交于点$C$，与$x$轴交于$A$，$B$两点，点$A$在点$B$的左侧。点$B$的坐标为$(1,0)$，$OC = 3OB$。
(1)抛物线的表达式为________________；
(2)若点$D$是线段$AC$下方的抛物线上的动点，求$\triangle ACD$面积的最大值。

答案：
【解】
(1)y=$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x - 3 【点拨】
∵点B的坐标为(1,0),
∴OB = 1。
　
∵OC = 3OB,
∴OC = 3,
∴点C的坐标为(0,−3)。
　把点B(1,0),C(0,−3)的坐标代入y = ax² + 3ax + c,
　得$\begin{cases}a + 3a + c = 0\\c = -3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = \frac{3}{4}\\c = -3\end{cases}$
　
∴抛物线的表达式为y=$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x - 3。
(2)如图,过点D作DF⊥x轴，垂足为点F，交直线AC于点E，
　　当y = 0时,$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x - 3 = 0,
　解得x₁ =－4,x₂ = 1,
　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴A(－4,0),
　
∴OA = 4。
　设直线AC的表达式为y = kx + b,
　把点A(－4,0),C(0,−3)的坐标代入y = kx + b,得$\begin{cases}-4k + b = 0\\b = -3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -\frac{3}{4}\\b = -3\end{cases}$
　
∴直线AC的表达式为y =－$\frac{3}{4}$x - 3。
　设点D的坐标为(t,$\frac{3}{4}$t²+$\frac{9}{4}$t - 3)(－4＜t＜0),则点E的坐标为(t,－$\frac{3}{4}$t - 3),
∴DE =－$\frac{3}{4}$t - 3 - ($\frac{3}{4}$t²+$\frac{9}{4}$t - 3)=－$\frac{3}{4}$t² - 3t。
∴S△ADC = S△ADE + S△CDE=$\frac{1}{2}$DE·AF+$\frac{1}{2}$DE·OF=$\frac{1}{2}$DE·(AF + OF)=$\frac{1}{2}$DE·OA=$\frac{1}{2}$·(－$\frac{3}{4}$t² - 3t)·4 =－$\frac{3}{2}$t² - 6t =－$\frac{3}{2}$(t + 2)² + 6。
∴当t =－2时,△ACD的面积有最大值,最大值为6。
∴△ACD面积的最大值为6。