《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册冀教版》

1. [2024邢台校级月考]如图，已知AB是半圆O的直径，点C，D将弧AB分成相等的三段弧，点M在AB的延长线上，连接MD.对于下列两个结论，判断正确的是 （ ）
结论Ⅰ：若∠OMD = 30°，则MD为半圆O的切线；
结论Ⅱ：连接AC，CD，则∠ACD = 130°.

A. Ⅰ和Ⅱ都对
B. Ⅰ对Ⅱ错
C. Ⅰ错Ⅱ对
D. Ⅰ和Ⅱ都错

答案： B

2. 如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上（不与点A，B重合），DE⊥AB于点D，交BC于点F，下列条件中能判断CE是半圆O的切线的是 （ ）

A. ∠E = ∠CFE
B. ∠E = ∠ECF
C. ∠ECF = ∠EFC
D. ∠ECF = 60°

答案： C

3. [新视角 条件开放题]如图，在△ABC中，∠BAC = 90°，D为BC的中点，O是线段AD上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O交AC于另一点E，要使EF是⊙O的切线，需要添加的一个条件是________（写一个条件即可）.

答案： EF⊥BC(答案不唯一)

4. 如图，AB是⊙O的弦，OD⊥OB，交AB于点E，且AD = ED. 求证：AD是⊙O的切线.

答案：
[证明]如图，连接OA.
∵OA=OB,
∴∠B=∠OAB.
∵AD=ED,
∴∠EAD=∠AED,
∵OD⊥OB,
∴∠BOD=90°.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴∠B + ∠OEB = 90°.
∵∠OEB = ∠AED,
∴∠OEB = ∠EAD.
∴∠OAB + ∠EAD = 90°,
即∠OAD = 90°.
∴OA⊥AD.
∵OA是半径,
∴AD是⊙O的切线.

5. [2024江西]如图，AB是半圆O的直径，点D是弦AC延长线上一点，连接BD，BC，∠D = ∠ABC = 60°.
（1）求证：BD是半圆O的切线；
（2）当BC = 3时，求⌢AC的长.

答案：

(1)[证明]
∵AB是半圆O的直径,
∴∠ACB = 90°.
∴∠A + ∠ABC = 90°.
∵∠D = ∠ABC,
∴∠D + ∠A = 90°.
∴∠ABD = 90°.
∴AB⊥BD.
∵AB是半圆O的直径,
∴BD是半圆O的切线.
(2)[解]连接OC,如图.
　
∵∠ABC = 60°,
　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴∠AOC = 2∠ABC = 120°.
∵OC = OB,
∴△BOC是等边三角形.
∴OC = BC = 3.
∴$\overset{\frown}{AC}$的长为$\frac{120\pi\times3}{180}=2\pi$.

6. △ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，已知∠B = ∠EAC，根据弦AB的变化，两人分别探究直线EF与⊙O的位置关系：
甲：如图①，当弦AB过点O时，EF与⊙O相切；乙：如图②，当弦AB不过点O时，EF与⊙O相切.
下列判断正确的是 （ ）

A. 甲对，乙不对
B. 甲不对，乙对
C. 甲和乙都对
D. 甲和乙都不对

答案：
C　[点拨]对于甲:
∵AB过点O,
∴AB是⊙O的直径.
∴∠C = 90°.
∴∠B + ∠CAB = 90°.
∵∠EAC = ∠B,
∴∠EAC + ∠CAB = 90°.
∴EF⊥AB.
∵AB是⊙O的直径,
∴EF是⊙O的切线. 故甲对.
对于乙:如图,作直径AM,连接CM,则∠B = ∠M.
∵∠EAC = ∠B,
∴∠EAC = ∠M.
同甲可得EF⊥AM.
∵AM是⊙O的直径,
∴EF是⊙O的切线. 故乙对.
　　　　　　　　　

7. [新视角 结论辨析题]题目：“如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC = 90°，以点A为圆心，小于AB的长度为半径作⊙A，P是⊙A上一点，连接AP，BP. 将线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BP'，连接PP'. 当∠APB为多少度时，PP'与⊙A相切于点P？”对于其答案，甲答：∠APB = 135°，乙答：∠APB = 60°，丙答：∠APB = 45°，则下列选项中正确的是 （ ）

A. 只有甲的答案对
B. 甲、丙的答案合在一起才完整
C. 乙、丙的答案合在一起才完整
D. 三人的答案合在一起才完整

答案：
B　[点拨]①当点P在AB的左侧时,如图①,
由旋转的性质知BP = BP',∠PBP' = 90°,
∴∠BPP' = 45°.
当PP'是⊙A的切线时,AP⊥PP',
∴∠APP' = 90°.
∴∠APB = 90° + 45° = 135°;
②当点P在AB的右侧时,如图②,
同理可得∠BPP' = 45°,
当PP'是⊙A的切线时,AP⊥PP',
　　　　　　　　　　　　　　　　
∴∠APP' = 90°.
∴∠APB = 90° - 45° = 45°.
∴甲、丙的答案合在一起才完整.