《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册冀教版》

1. 二次函数$y = x^{2}-3x + 1$的大致图像是(　　　)
　

答案： B

2. 下列关于二次函数$y=-x^{2}+4x + 3$的说法正确的是(　　　)
A. 该函数的图像开口向上
B. 该函数图像的顶点坐标为$(2,3)$
C. 当$x ＜ 2$时，$y$随$x$的增大而减小
D. 该函数的最大值为7

答案： D

3. [2024石家庄裕华区模拟] 若点$A(0,y_{1})$，$B(1,y_{2})$，$C(-2,y_{3})$是抛物线$y = x^{2}-2x + 1$上的三点，则(　　　)
A. $y_{3}＞y_{2}＞y_{1}$
B. $y_{1}＞y_{2}＞y_{3}$
C. $y_{1}＞y_{3}＞y_{2}$
D. $y_{3}＞y_{1}＞y_{2}$

答案： D

4. 新考法 整体代入法 将抛物线$y = ax^{2}+bx + 3$向下平移5个单位长度后，得到的新抛物线经过点$(-2,4)$，则$6a - 3b - 7=$______．

答案： 2　[点拨]由题意得新抛物线的表达式为y=ax²+bx+3−5=ax²+bx−2,把(−2,4)代入,得4=a×(−2)²−2b−2,即2a−b=3,
∴6a−3b−7=3(2a−b)−7=3×3−7=2.

5. [2024苏州] 二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图像过点$A(0,m)$，$B(1,-m)$，$C(2,n)$，$D(3,-m)$，其中$m$，$n$为常数，则$\frac{m}{n}$的值为______．

答案： −$\frac{3}{5}$　[点拨]将A(0,m),B(1,−m),D(3,−m)代入y=ax²+bx+c(a≠0),
得$\begin{cases}c = m,\\a + b + c = -m,\\9a + 3b + c = -m,\end{cases}$
∴$\begin{cases}a=\frac{2}{3}m,\\b = -\frac{8}{3}m,\\c = m.\end{cases}$
∴y=$\frac{2}{3}$mx²−$\frac{8}{3}$mx+m.
把C(2,n)代入y=$\frac{2}{3}$mx²−$\frac{8}{3}$mx+m,
得n=$\frac{2}{3}$m×2²−$\frac{8}{3}$m×2+m = −$\frac{5}{3}$m,
∴$\frac{m}{n}=\frac{m}{-\frac{5}{3}m}=-\frac{3}{5}$。

6. 已知二次函数$y=-x^{2}+2x + 3$．
(1)用配方法求该二次函数图像的对称轴、顶点坐标，并指出它的开口方向；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出此函数的图像；
(3)观察图像，指出当$y\geqslant0$时，$x$的取值范围．
　　　　　　　　

答案：
[解]
(1)
∵y=−x²+2x+3=−(x−1)²+4,
∴该二次函数图像的对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1,4),开口向下.
(2)如图.

(3)由函数图像可知,当y≥0时,−1≤x≤3.

7. 易错题 [2024邢台模拟] 点$A(a,b_{1})$，$B(a + 2,b_{2})$在函数$y=-x^{2}+2x + 3$的图像上，当$a\leqslant x\leqslant a + 2$时，函数的最大值为4，最小值为$b_{1}$，则$a$的取值范围是(　　　)
A. $0\leqslant a\leqslant2$
B. $-1\leqslant a\leqslant2$
C. $-1\leqslant a\leqslant1$
D. $-1\leqslant a\leqslant0$

答案：
D　[点拨]由y=−x²+2x+3=−(x−1)²+4,得该函数图像的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,4)，开口向下,如图.
由题意得A点在B点的左侧.
当A,B两点均在对称轴左侧，即a+2＜1,也就是a＜−1时,易知当a≤x≤a+2时,函数的最大值为b₂,最小值为b₁,不符合题意;当点B与顶点(1,4)重合时,a+2=1,解得a=−1,此时函数的最大值为4,最小值为b₁,符合题意;
当A,B两点均在对称轴右侧,即a≥1时,易知当a≤x≤a+2时，函数的最大值为b₁,最小值为b₂;当A与顶点重合时,a=1,b=4,此时函数的最大值为4,最小值为b₂,不符合题意;
当点A,B分别在直线x=1两侧,即−1＜a＜1时,若要满足条件，则点A离对称轴不比点B离对称轴近，
∴1−a≥(a+2)−1,
解得a≤0.
∴−1＜a≤0.
综上,a的取值范围是−1≤a≤0.

8. [2024承德期末] 一次函数$y = ax + c$与二次函数$y = ax^{2}+bx + c$在同一平面直角坐标系中的图像可能是(　　　)
　　　　　　　　

答案： D　[点拨]易知一次函数和二次函数的图像都经过(0,c),
∴两个函数图像交于y轴上的同一点，
∴A不符合题意;当a＞0时，二次函数的图像开口向上，一次函数的图像一定经过第一、三象限，
∴B不符合题意;当a＜0时，二次函数的图像开口向下，一次函数的图像一定经过第二、四象限，
∴C不符合题意，D符合题意.
点方法根据两个函数表达式，分析在同一平面直角坐标系中，两函数的图像的情况通常有两种方法:
(1)分类讨论法:按系数的正负进行讨论;
(2)逐项排除法:假定选项中某一函数图像正确，然后再判断另一函数图像是否合理，从而排除不符合题意的选项，

9. 已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图像如图所示，下列3个结论：①$abc＜0$；②$b ＜ a + c$；③$4a + 2b + c＞0$．其中正确的是(　　　)
　　　　　　　　　　
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③

答案： A　[点拨]①由图像开口向上,得a＞0,由对称轴为直线x=−$\frac{b}{2a}$=2,得b=−4a＜0,由图像与y轴的交点在x轴的上方,得c＞0,
∴abc＜0,故①正确.
②由图像,得当x=−1时,y＞0,即a−b+c＞0,
∴b＜a+c,故②正确.
③由图像,得当x=2时,y＜0,即4a+2b+c＜0,故③错误.
点方法解决此类问题，通常用以下思路:
(1)由口诀“上正下负”“左同右异”推断a,b,c的符号;
(2)结合图像，通过给x赋值，判断特殊函数值的正负，如判断“a +b+c”“a−b+c”“4a+2b+c”“4a−2b+c”等式子的正负.

10. 新视角 新定义型题 我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点. 已知二次函数$y =-\frac{x^{2}}{3}+4$和反比例函数$y=\frac{k}{x}(k ＞ 0,x ＞ 0)$的图像如图所示，它们围成的阴影部分(包括边界)中的整点个数为5，则$k$的取值范围为(　　　)
　　　　　　　　　　
A. $0 ＜ k\leqslant2$
B. $1 ＜ k ＜ 2$
C. $1 ＜ k\leqslant2$
D. $1\leqslant k\leqslant2$

答案： C　[点拨]对于函数y=−$\frac{x²}{3}$+4,当x=1时,
y=−$\frac{1}{3}$+4=$\frac{11}{3}$＞3,
当x=2时，
y=−$\frac{4}{3}$+4=$\frac{8}{3}$＞2,
当x=3时,y=−$\frac{9}{3}$+4=1,
∴在第一象限内,在二次函数y=−$\frac{x²}{3}$+4的图像上和图像下方的整点有6个，坐标分别为(1，1)，(1,2)，(1,3),(2,1),(2,2),(3,1).
由题意可知这6个整点中在反比例函数y=$\frac{k}{x}$(k＞0,x＞0)的图像上和图像上方的整点有5个，
∴1×1＜k≤1×2,即1＜k≤2.故选C.

11. [2024唐山期中] 如图，二次函数$y = ax^{2}+2ax + 1(a ＜ 0)$的图像所在的平面直角坐标系的原点是点______．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： O₄　[点拨]
∵二次函数y=ax²+2ax+1(a＜0)的图像的对称轴为直线x=−$\frac{2a}{2a}$=−1,
∴易得原点是点O₄.