《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册冀教版》

1. [2024甘肃]在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1,2,3,4.甲、乙两人玩摸球游戏，规则为:两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜;若两球上的数字之和为偶数，则乙胜.
(1)请用画树形图或列表的方法，求甲获胜的概率.
(2)这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请说明理由.

答案：
【解】
(1)画树形图如下:
　　　　
甲 1 2 3 4
乙 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3
和 3 4 5 3 5 6 4 5 7 5 6 7
由图可知，共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种，
∴甲获胜的概率为$\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$.
(2)不公平.理由：由树形图可知，和为偶数的结果有4种，
∴乙获胜的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.
∵$\frac{2}{3}＞\frac{1}{3}$，
∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平.

2. 一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外其余都相同.
(1)小明和小红玩摸球游戏，从袋中随机摸出1个球，若摸到黑球则小明获胜，若摸到黄球则小红获胜，这个游戏对双方公平吗？请说明你的理由.
(2)若现在从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，使得这个游戏对双方公平，问需取出多少个黑球？

答案： 【解】
(1)不公平.理由如下：
袋中共有5 + 13 + 22 = 40(个)球，
∴小明获胜的概率为$\frac{13}{40}$，小红获胜的概率为$\frac{5}{40}=\frac{1}{8}$.
∵$\frac{13}{40}＞\frac{1}{8}$，
∴这个游戏对双方不公平.
(2)设取出了x个黑球，则13 - x = 5 + x，解得x = 4.故需取出4个黑球.

3. 甲、乙两人在玩转盘游戏时，把两个可以自由转动的A盘，B盘都分成3个面积相等的扇形区域，并在每一个区域内标上数字(如图所示)，游戏规则为:同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个区域上的数字之和为3的倍数，则甲获胜;若指针所指两个区域上的数字之和为4的倍数，则乙获胜.若指针落在分割线上，则需要重新转动转盘.这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由.

答案： 【解】不公平，理由如下：
列表：
| A盘\B盘 | 1 | 2 | 3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) |
由表可知，共有9种等可能的结果，易知其中指针所指两个区域上的数字之和为3的倍数的结果有3种，指针所指两个区域上的数字之和为4的倍数的结果有2种，
∴甲获胜的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，乙获胜的概率为$\frac{2}{9}$.
∵$\frac{1}{3}\neq\frac{2}{9}$，
∴这个游戏对甲、乙双方不公平.

4. 如图，甲、乙两人用4张扑克牌玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后背面朝上，放置在桌面上，每人抽一张，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回.甲、乙约定:只有当甲抽到的牌面数字比乙大时甲才获胜;否则乙获胜.请你用画树形图法说明甲、乙获胜的机会是否相同.

答案：
【解】画树形图如下:
　　　　　
甲 2 4 5 5
乙 4 5 5 2 5 5 2 4 5 2 4 5
由图可知，共有12种等可能的结果，其中甲抽到的牌面数字比乙大的结果有5种，
∴P(甲获胜)=$\frac{5}{12}$，
∴P(乙获胜)=1 - $\frac{5}{12}=\frac{7}{12}$.
∵$\frac{5}{12}\neq\frac{7}{12}$，
∴甲、乙获胜的机会不相同.