《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册冀教版》

12. 如图，在平面直角坐标系中，点$A$在抛物线$y = x^{2}-2x + 4$上运动. 过点$A$作$AC\perp x$轴于点$C$，以$AC$为对角线作矩形$ABCD$，连接$BD$，则对角线$BD$的最小值为______．
　　　　　　　　　　　　　　

答案： 3　[点拨]
∵y=x²−2x+4=(x−1)²+3,
∴抛物线的顶点坐标为(1,3).
易知当点A与抛物线的顶点重合时,AC最小,最小值为3.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD.
∴对角线BD的最小值为3.

13. 如图，已知抛物线$y=-x^{2}+bx + 3$经过点$M(-2,3)$．
(1)求$b$的值；
(2)将该抛物线向左或向右平移，使其经过坐标原点，请直接写出平移的方式(任意一种即可)．
　　　　　　　　　　　　　　

答案： [解]
(1)把M(−2,3)的坐标代入y=−x²+bx+3,得−4−2b+3=3,解得b=−2.
(2)(答案不唯一)向左平移1个单位长度.

14. [2024北京] 在平面直角坐标系$xOy$中，已知抛物线$y = ax^{2}-2a^{2}x(a\neq0)$．
(1)当$a = 1$时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知$M(x_{1},y_{1})$和$N(x_{2},y_{2})$是抛物线上的两点. 若对于$x_{1}=3a$，$3\leqslant x_{2}\leqslant4$，都有$y_{1}＜y_{2}$，求$a$的取值范围．

答案：
[解]
(1)当a=1时,y=x²−2x=(x−1)²−1,
∴抛物线的顶点坐标为(1,−1).
(2)分两种情况:
①当a＞0时,如图①,易得3a＜3,
∴a＜1,
又
∵a＞0,
∴0＜a＜1.
②当a＜0时,如图②,易得−a＞4,
∴a＜−4.
综上,a的取值范围为0＜a＜1或a＜−4.

15. 新视角 存在性探究题 如图，二次函数$y = x^{2}+bx + c$的图像与$x$轴交于$A$，$B$两点，且点$A$的坐标为$(-3,0)$，经过点$B$的直线交抛物线于点$D(-2,-3)$．
(1)求抛物线和直线$BD$的表达式．
(2)过$x$轴上点$E(a,0)$(点$E$在点$B$的右侧)作直线$EF// BD$，交抛物线于点$F$，是否存在实数$a$，使四边形$BDFE$是平行四边形？如果存在，求出满足条件的$a$的值；如果不存在，请说明理由．
　　　　　　　　　　　　　　
第15题微课
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答案： [解]
(1)将A(−3,0),D(−2,−3)的坐标代入y=x²+bx+c,得$\begin{cases}9 - 3b + c = 0,\\4 - 2b + c = - 3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b = 2,\\c = - 3,\end{cases}$
∴抛物线的表达式为y=x²+2x−3.令x²+2x−3=0,解得x₁=−3,x₂=1.
∴点B的坐标是(1,0).
设直线BD的表达式为y=kx+m,把B(1,0),D(−2,−3)的坐标代入，
得$\begin{cases}k + m = 0,\\-2k + m = - 3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k = 1,\\m = - 1,\end{cases}$
∴直线BD的表达式为y=x−1.
(2)存在.
∵点E(a,0)在点B(1,0)的右侧,
∴a＞1.
∵直线BD的表达式为y=x−1,且EF//BD,E(a,0),
∴易得直线EF的表达式为y=x−a.
∵四边形BDFE是平行四边形,
∴DF//x轴,
∴D,F两点的纵坐标相等，即点F的纵坐标为−3.
∵点F在抛物线y=x²+2x−3上,
∴令x²+2x−3=−3,解得x=0或x=−2,
∴易得F(0,−3).
将F(0,−3)的坐标代入y=x−a,得a=3.
∴点E的坐标为(3,0),符合题意.
∴存在实数a，使四边形BDFE是平行四边形，且a=3.