《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册冀教版》

14. 如图，抛物线y = -x² + bx + c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中B(1,0)，C(0,3).
(1)求抛物线的表达式.
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得△APC的面积最大？若存在，请直接写出点P的坐标和△APC面积的最大值；若不存在，请说明理由.

答案：
【解】
(1)将B(1，0)，C(0，3)的坐标代入y = - x² + bx + c，得$\begin{cases}-1 + b + c = 0 \\ c = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = - 2 \\ c = 3\end{cases}$.
∴抛物线的表达式为y = - x² - 2x + 3.
(2)存在. P( - $\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$)，△APC的面积最大值为$\frac{27}{8}$.【点拨】令y = 0，则0 = - x² - 2x + 3，解得x₁ = - 3，x₂ = 1，

∴A( - 3，0).
∴OA = 3.
∵C(0，3)，
∴OC = 3.假设存在点P满足条件.如图，过点P作PE⊥x轴于点E.设P(x， - x² - 2x + 3)，则OE = - x，
∴AE = 3 + x，
∴S_{△APC}=S_{△APE}+S_{梯形PCOE}-S_{△AOC}=$\frac{1}{2}$·AE·PE+$\frac{1}{2}$(OC + PE)·OE-$\frac{1}{2}$·OA·OC=$\frac{1}{2}$(3 + x)( - x² - 2x + 3)+$\frac{1}{2}$(3 - x² - 2x + 3)( - x)-$\frac{1}{2}$×3×3= - $\frac{3}{2}$(x + $\frac{3}{2}$)² + $\frac{27}{8}$.
∵ - $\frac{3}{2}$＜0，
∴当x = - $\frac{3}{2}$时，S_{△APC}有最大值，最大值为$\frac{27}{8}$. 此时点P的坐标为( - $\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$).

15. 已知二次函数y=(x - h)² + 1(h为常数)，在自变量x的值满足2≤x≤4的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为________.

答案： 0或6 【点拨】
∵y=(x - h)² + 1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x = h，函数最小值为1.
∵当2≤x≤4时，函数最小值为5，
∴h＜2或h＞4.若h＜2，当x = 2时，y=(2 - h)² + 1 = 5，解得h = 0或h = 4(舍去)，若h＞4，当x = 4时，y=(4 - h)² + 1 = 5，解得h = 6或h = 2(舍去)，故h的值为0或6.

16. [2024石家庄新华区模拟] 如图，x轴上依次有A，B，D，C四个点，且AB = BD = DC = 2，从点A处向右上方沿抛物线y = -(x + 2)(x - 6)发出一个带光的点P.
(1)求点A的横坐标，且在图中补画出y轴.
(2)通过计算说明点P是否会落在点C处，并补全抛物线.
(3)求抛物线的顶点坐标和对称轴.
(4)在x轴上从左到右有两点E，F，且EF = 2，从点F向上作GF⊥x轴，且GF = 1. 在△GFE沿x轴左右平移时，必须保证沿抛物线下落的点P能落在边EG(包括端点)上，直接写出点G横坐标的最大值与最小值.

答案：
【解】
(1)对于抛物线y = - (x + 2)(x - 6)，令y = 0，则 - (x + 2)(x - 6)=0，解得x = - 2或x = 6，
∴A( - 2，0).
∴点A的横坐标为 - 2.
∵AB = 2，
∴点B为原点，补画出y轴如图所示.
(2)由
(1)可知抛物线与x轴的另一个交点为(6，0)，
∵A( - 2，0)，AB = BD = DC = 2，
∴C(4，0).
∴点P不会落在点C处. 补全抛物线如图所示.

(3)
∵y = - (x + 2)(x - 6)= - (x - 2)² + 16，
∴抛物线的顶点坐标为(2，16)，对称轴为直线x = 2.
(4)点G横坐标的最大值为8，最小值为2 + $\sqrt{15}$.【点拨】对于y = - (x + 2)(x - 6)，当y = 1时，1 = - (x + 2)(x - 6)，解得x = 2±$\sqrt{15}$，
∴抛物线经过点(2 + $\sqrt{15}$，1)，在Rt△EFG中，∠EFG = 90°，EF = 2，FG = 1，
∴当点E与点(6，0)重合时，点G的横坐标最大，最大值为8；当点G与点(2 + $\sqrt{15}$，1)重合时，点G的横坐标最小，最小值为2 + $\sqrt{15}$.
∴点G横坐标的最大值为8，最小值为2 + $\sqrt{15}$.

17. [2024石家庄桥西区期末] 某超市销售A品牌的纯牛奶，进价是40元/箱. 根据前段时间的销售经验，每天的售价x(元/箱)与每天销量y(箱)有如下关系：

已知y与x之间是一次函数关系.
(1)求y与x的函数表达式；
(2)若该超市每天销售这种纯牛奶盈利1 104元，要使顾客获得实惠，则每箱售价是________元；
(3)若售价不能低于40元/箱，不能高于65元/箱，请你直接写出当A品牌的纯牛奶的售价定为多少元/箱时，超市一天的总盈利最大.

答案： 【解】
(1)设y与x的函数表达式是y = kx + b(k≠0)，根据题意可得$\begin{cases}65k + b = 40 \\ 40k + b = 140\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = - 4 \\ b = 300\end{cases}$，故y与x的函数表达式是y = - 4x + 300.
(2)52 【点拨】由题意可得(x - 40)( - 4x + 300)=1104，解得x₁ = 63，x₂ = 52.
∵要使顾客获得实惠，
∴x = 52.
(3)当A品牌的纯牛奶的售价定为$\frac{115}{2}$元/箱时，超市一天的总盈利最大.【点拨】设超市一天的总盈利为w元，根据题意，得w=(x - 40)( - 4x + 300)= - 4x² + 460x - 12000= - 4(x - $\frac{115}{2}$)² + 1225.
∵售价不能低于40元/箱，不能高于65元/箱，
∴40≤x≤65.
∴当x = $\frac{115}{2}$时，w最大.