《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册冀教版》

10. 情境题 古建筑与道路规划 如图①是一座修缮后的古城门，图②是城门截面的形状，可以看作是抛物线的一部分，城门内的道路已由相关部门规划为双行道，请依据相关数据进行作答.
(1)已知城门跨度为12 m，城门最高处与路面的距离为4 m，请以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，并求出抛物线的表达式(不写取值范围)；
(2)为确保安全，城建局要求车顶与城门内拱的距离不小于0.35 m，已知该城市的新能源公交车宽度为2.4 m，高度为3 m，请判断新能源公交车经过此线路时是否需要绕行(黄线宽度忽略不计).

答案：
【解】
(1)依据题意建立平面直角坐标系如图所示，根据题意，得点A(0，0)，B(12，0)，且顶点C的坐标为(6，4)，设抛物线的表达式为y = a(x - 0)(x - 12)，将点C(6，4)的坐标代入上式，得 - 36a = 4，解得a = - $\frac{1}{9}$，
∴抛物线的表达式为y = - $\frac{1}{9}$x(x - 12)= - $\frac{1}{9}$x² + $\frac{4}{3}$x.

(2)无需绕行. 理由如下：
∵车道为双行道，
∴公交车越靠近黄线越安全.
∵车宽为2.4 m，车道宽为6 m，
∴x = 6 - 2.4 = 3.6，将x = 3.6代入y = - $\frac{1}{9}$x² + $\frac{4}{3}$x，得y = - $\frac{1}{9}$×3.6² + $\frac{4}{3}$×3.6 = 3.36.
∵3.36 - 3 = 0.36(m)，0.36 m＞0.35 m，
∴新能源公交车经过此线路时无需绕行.

11. [2024达州] 抛物线y = -x² + bx + c与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是 （ ）
A. b + c＞1
B. b = 2
C. b² + 4c＜0
D. c＜0

答案： A 【点拨】设抛物线y = - x² + bx + c与x轴的两个交点分别为(x₁，0)和(x₂，0)(x₁＜x₂)，则x₁＜1，x₂＞1，
∴x₁ - 1＜0，x₂ - 1＞0.
∴(x₁ - 1)(x₂ - 1)＜0.
∴x₁x₂ - (x₁ + x₂)+1＜0.由x₁x₂ = - c，x₁ + x₂ = b得， - c - b + 1＜0，
∴b + c＞1.

12. 经过A(2 - 3b,m)，B(4b + c - 1,m)两点的抛物线$y = -\frac{1}{2}x² + bx - b² + 2c(x$为自变量)与x轴有交点，则线段AB的长为________.

答案： 12 【点拨】
∵经过A(2 - 3b，m)，B(4b + c - 1，m)两点的抛物线y = - $\frac{1}{2}$x² + bx - b² + 2c(x为自变量)与x轴有交点，
∴$\frac{2 - 3b + 4b + c - 1}{2}$= - $\frac{b}{2×( - \frac{1}{2})}$，b² - 4×( - $\frac{1}{2}$)×( - b² + 2c)≥0.
∴b = c + 1，b²≤4c.
∴(c + 1)²≤4c.
∴(c - 1)²≤0.又
∵(c - 1)²≥0，
∴(c - 1)² = 0，解得c₁ = c₂ = 1.
∴b = c + 1 = 2.
∴AB=|(4b + c - 1)-(2 - 3b)|=|4b + c - 1 - 2 + 3b|=|7b + c - 3|=|7×2 + 1 - 3|=|14 + 1 - 3|=12.

13. [2024·石家庄校级模拟] 嘉淇设计了一个程序，如图，抛物线L：y = x² - 2px + p² + 2p - 3为导电的线缆，第一象限内有一矩形区域ABCD，边AD，DC分别在y轴、x轴上，点B的坐标为(8,6)，其中矩形的顶点A，B，C，D处有四个通电开关.
(1)点A的坐标为________.
(2)当p = - 4时，求抛物线L的对称轴和y的最小值.
(3)设抛物线L的顶点为点E.
①求点E的坐标(用含p的式子表示)；
②当点E在矩形ABCD的边上时，求点E的坐标.
(4)当导电线缆(即抛物线L)接触开关时，即可通电，直接写出通电时整数p的值.

答案： 【解】
(1)(0，6)
(2)当p = - 4时，y = x² + 8x + 5=(x + 4)² - 11，
∴抛物线L的对称轴为直线x = - 4，y的最小值为 - 11.
(3)①
∵y = x² - 2px + p² + 2p - 3=(x - p)² + 2p - 3，
∴抛物线L的顶点E的坐标为(p，2p - 3).
②令x = p，y = 2p - 3，则易得点E所在直线的表达式为y = 2x - 3.当y = 0时，2x - 3 = 0，解得x = $\frac{3}{2}$，此时E($\frac{3}{2}$，0)；当y = 6时，2x - 3 = 6，解得x = $\frac{9}{2}$，此时E($\frac{9}{2}$，6).
∴点E的坐标为($\frac{3}{2}$，0)或($\frac{9}{2}$，6).
(4)整数p的值为 - 3或1.