《2025年学习检测九年级数学下册华师大版》

23. (14分)某公司试销一种成本为30元/件的新产品，按规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，试销中每天的销售量$y$(件)与销售单价$x$(元/件)满足下表中的函数关系：
| $x$(元/件) | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y$(件) | 550 | 500 | 450 | 400 | 350 |
(1) 试求$y$与$x$之间的函数表达式；
(2) 设公司试销该产品每天获得的毛利润为$s$(元)，求$s$与$x$之间的函数表达式；(毛利润=销售总价 - 成本总价)
(3) 当销售单价定为多少时，该公司试销这种产品每天获得的毛利润最大？最大利润是多少？此时每天的销售量是多少？

答案：
(1) $y = -10x + 900 (30 \leq x \leq 80)$;
(2) $S = -10x^2 + 1200x - 27000 (30 \leq x \leq 80)$;
(3) 销售单价定为60元时, $S_{最大}=9000$元, 此时每天的销售量为300件.

24. (15分)已知二次函数$y = x^{2}-2(m - 1)x + m^{2}-2m - 3$，其中$m$为实数.
(1) 求证：不论$m$取何实数，这个二次函数的图象与$x$轴必有两个交点；
(2) 设这个二次函数的图象与$x$轴交于点$A(x_{1}，0)$，$B(x_{2}，0)$，且$x_{1}$，$x_{2}$的倒数和为$\frac{2}{3}$，求这个二次函数的解析式.

答案：
(1) 因为$\Delta = b^2 - 4ac = [-2(m - 1)]^2 - 4(m^2 - 2m - 3) = 4m^2 - 8m + 4 - 4m^2 + 8m + 12 = 16 ＞ 0$, 所以无论$m$为何值, 此二次函数图象与$x$轴必有两个交点;
(2) $y = x^2 + 2x - 3$或$y = x^2 - 8x + 12$.