《2025年学习检测九年级数学下册华师大版》

1.【上海中考】如图，在等腰三角形ABC中，∠A = ∠B = 30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D.
（1）尺规作图：过A，D，C三点作⊙O；（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）
（2）求证：BC是⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为√3，则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由.

答案： （1）提示：作出AD的中点O，以O为圆心、OA长为半径作圆；（2）因为CD⊥AC，所以∠ACD = 90°，所以AD是⊙O的直径，连接OC. 因为∠A = ∠B = 30°，所以∠ACB = 120°，又因为OA = OC，所以∠ACO = ∠A = 30°，所以∠BCO = 90°，所以BC⊥OC，所以BC是⊙O的切线；（3）存在，DP的长为$\frac{\sqrt{3}}{2}$或1.

2.【湖北中考】如图，A，P，B，C是⊙O上的四点，∠APC = ∠BPC = 60°，AB与PC交于点Q.
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（2）求证：$\frac{AQ}{QB}=\frac{AP}{PB}$.

答案： （1）△ABC是等边三角形；（2）提示：过点B作BD//PA交PC于D.