《2025年学习检测九年级数学下册华师大版》

15. 如图，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC = 30°.
(1) 求∠P的大小；
(2) 若AB = 2，求PA的长(结果保留根号).
　　　　

答案：
(1)因为$PA$是$\odot O$的切线,$AB$为$\odot O$的直径, 所以$PA\perp AB$, 所以$\angle BAP = 90^{\circ}$, 因为$\angle BAC = 30^{\circ}$, 所以$\angle CAP = 90^{\circ}-\angle BAC = 60^{\circ}$, 又因为$PA,PC$切$\odot O$于点$A,C$, 所以$PA = PC$, 所以$\triangle PAC$为等边三角形, 所以$\angle P = 60^{\circ}$;
(2)连接$BC$, 则$\angle ACB = 90^{\circ}$. 在$Rt\triangle ACB$中,$AB = 2,\angle BAC = 30^{\circ}$, 所以$AC = AB\cdot\cos\angle BAC = 2\cos30^{\circ}=\sqrt{3}$, 因为$\triangle PAC$为等边三角形, 所以$PA = AC$, 所以$PA = \sqrt{3}$.

16. 如图，△ABC的内切圆⊙O分别和AB、BC、CA相切于点D、E、F，∠A = 60°，BC = 6，△ABC的周长为16，求DF的长.
　　　

答案： 由 “过圆外一点所画的圆的两条切线, 它们的切线长相等”, 得:$AD = AF,BD = BE,CF = CE$. 由$\angle A = 60^{\circ}$, 可得$\triangle ADF$为等边三角形. 由$AD + AF=\triangle ABC$的周长$-BC - BD - CF = 16 - 2BC = 16 - 2\times6 = 4$, 即$2AD = 4$, 得$DF = AD = 2$.

17. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，切AB，AC于点D，E.
(1) 如果∠DOE = 100°，∠ACB = 60°，求∠ABC的大小；
(2) 如果∠A = 70°，求∠BOC的大小.
　　　

答案：
(1)$40^{\circ}$. 提示: 由四边形$ADOE$的内角和可求得$\angle A$, 再利用三角形内角和可求得$\angle ABC$;
(2)$125^{\circ}$. 提示: 由内心的性质可得$\angle OBC+\angle OCB=\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)$, 利用$\triangle BOC$的内角和可求$\angle BOC$的大小.