《2025年学习检测九年级数学下册华师大版》

11. 若抛物线$y = 2x^{2}-kx - 1$与$x$轴交点的横坐标一个大于2，另一个小于2，试确定$k$的取值范围.

答案： 因为抛物线$y = 2x^2 - kx - 1$,所以$\Delta = b^2 - 4ac = (-k)^2 - 4\times2\times(-1) = k^2 + 8 ＞ 0$,所以无论$k$为何实数,抛物线$y = 2x^2 - kx - 1$与$x$轴恒有两个交点. 设$y = 2x^2 - kx - 1$与$x$轴两交点的横坐标分别为$x_1,x_2$,且规定$x_1 ＜ 2,x_2 ＞ 2$. 所以$x_1 - 2 ＜ 0,x_2 - 2 ＞ 0$,所以$(x_1 - 2)(x_2 - 2) ＜ 0$,所以$x_1x_2 - 2(x_1 + x_2) + 4 ＜ 0$,因为$x_1,x_2$也是方程$2x^2 - kx - 1 = 0$的两个根,所以$x_1 + x_2 = \frac{k}{2},x_1\cdot x_2 = -\frac{1}{2}$,所以$-\frac{1}{2} - 2\times\frac{k}{2} + 4 ＜ 0$,所以$k ＞ \frac{7}{2}$. 所以$k$的取值范围为$k ＞ \frac{7}{2}$.

12. 某公司为一工厂代销（代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责代理）一种建筑材料，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨. 经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨. 综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元. 设每吨材料售价为$x$（元），该经销店的月利润为$y$（元）.
(1) 当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量.
(2) 求出$y$与$x$的函数关系式.（不要求写出$x$的取值范围）
(3) 该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
(4) 小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗？请说明理由.

答案： 提示:
(1) 月销量为60吨.
(2) $y = (x - 100)(45 + \frac{260 - x}{10}\times7.5)$,即$y = -\frac{3}{4}x^2 + 315x - 24000$.
(3) $y = -\frac{3}{4}(x - 210)^2 + 9075$; 售价定为每吨210元,可获得最大月利润.
(4) 小静说得不对. 理由:月销售额为$W = x(45 + \frac{260 - x}{10}\times7.5) = -\frac{3}{4}(x - 160)^2 + 19200$; 当$x$为160元时,月销售额$W$最大.