《2025年学习检测九年级数学下册华师大版》

6. 如图，图①、图②、图③……图n……分别是⊙O的内接正三角形A₁A₂A₃、正四边形A₁A₂A₃A₄、正五边形A₁A₂A₃A₄A₅……正n边形A₁A₂A₃A₄…Aₙ……，点M、N分别从点A₂、A₃开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，A₁M与A₂N交于点P.
（1）求图①中∠A₁PN的大小.
（2）图②中∠A₁PN的大小是______，图③中∠A₁PN的大小是______.
（3）试探索∠A₁PN的大小与正多边形的边数n之间的关系（直接写出答案）.

答案： （1）因为$\overset{\frown}{A_{2}M}=\overset{\frown}{A_{3}N}$，所以∠A_{2}A_{1}M = ∠A_{3}A_{2}N，由∠A_{1}PN为△A_{1}A_{2}P的外角，可得∠A_{1}PN = ∠A_{1}A_{2}P + ∠A_{2}A_{1}M = ∠A_{1}A_{2}P + ∠A_{3}A_{2}N = ∠A_{1}A_{2}A_{3}=60°；（2）90°；108°；（3）∠A_{1}PN = $\frac{(n - 2)\cdot180°}{n}$.