《2025年学习检测九年级数学下册华师大版》

15. 证明：同圆的内接正六边形和外切正六边形的面积之比为3∶4.

答案： 设圆的半径为 $r$，则可求得内接正六边形的边长为 $r$，外切正六边形的边长为 $\frac{2\sqrt{3}}{3}r$，因为正六边形都相似，所以内接正六边形与外切正六边形的相似比为 $1:\frac{2\sqrt{3}}{3}$，因此面积之比为 $3:4$.

16. 如图，五边形ABCDE内接于⊙O，∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E，试证明五边形ABCDE是正五边形.

答案： 由 $\angle A=\angle B$，可得 $\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DE}+\overset{\frown}{EA}$，所以 $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{EA}$，所以 $BC = EA$，同理可得 $EA = CD = AB = ED$，因此五边形 $ABCDE$ 是正五边形.

17. 如图，正三角形、正方形、正六边形的周长都等于L，它们的面积分别为S₁，S₂，S₃，试比较S₁，S₂，S₃的大小.

答案： $S_{1}＜S_{2}＜S_{3}$.