《2025年学习检测九年级数学下册华师大版》

3.【泸州中考】如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA = ∠CBD，过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E.
（1）求证：CD² = AC·BC.
（2）求证：CD是⊙O的切线.
（3）若BC = 12，tan∠CDA = $\frac{2}{3}$，求BE的长.

答案：
提示：（1）证△ADC∽△DBC，
∴$\frac{AC}{CD}=\frac{CD}{BC}$，即CD^{2}=AC·BC. （2）连接OD. 易证∠CDO = 90°，则CD与⊙O相切. （3）连接OE.
∵BE，CD均为⊙O的切线，
∴DE = BE，OE⊥BD.
∴∠OEB = ∠ABD = ∠CDA.
∴tan∠OEB = $\frac{OB}{BE}=\frac{2}{3}$.
∵Rt△CDO∽Rt△CBE，
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{OD}{BE}=\frac{OB}{BE}=\frac{2}{3}$，
∴CD = 8. 在Rt△CBE中，设BE = x，于是可得(x + 8)^{2}=x^{2}+12^{2}，解得x = 5.

4.【石家庄中考】如图，在平面直角坐标系中，已知A（-4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C（0，2），过点C作圆的切线交x轴于点D.
（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由.

答案： （1）过A，B，C三点的抛物线的解析式为y = -$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x + 2$；（2）点D的坐标为($\frac{8}{3}$，0)；（3）存在. 该圆的半径为$\frac{\sqrt{29}}{2}-1$或$\frac{\sqrt{29}}{2}+1$.