《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

10. 毕业典礼期间,国际班的 7名师生站成一排拍照留念,7人身高各不相同,排成两排,其中前排 3人,后排 4人的所有排法的种数为5040(用数字作答).

答案： 10. 5040 实质上就是7个人的全排列，即$A_{7}^{7}=5040$.

11. 将 9个相同的球放到 3个不同的盒子中,每个盒子至少放 1个球,且每个盒子中球的个数互不相同,则不同的分配方法共有18种.

答案： 11. 18 将9个相同的球分成个数不同的3份，有(1,2,6)，(1,3,5)，(2,3,4)三种情况，再将这3份个数不同的球放到3个不同的盒子中的情况有$A_{3}^{3}=6$(种)，所以不同的分配方法共有$3×6 = 18$(种).

12. 六个停车位置,有三辆汽车需要停放,若要使三个空车位连在一起,则停放的方法数为24;若要使三个空车位不连在一起,则停放的方法数为96.

答案： 12. 24 96 把3个空车位看作一个元素，与3辆汽车一起共有4个元素全排列，故停放的方法有$A_{4}^{4}=4×3×2×1 = 24$(种).不考虑任何限制，空位与空位之间无区别，则共有$A_{6}^{6}=120$(种)不同的停放方法，若三个空车位不连在一起，则有$120 - 24 = 96$(种)停放方法.

13. 变式探究 甲、乙、丙等6人按下列要求排成一排,分别有多少种不同的排法?
(1)甲在乙的左边;
(2)甲在乙的左边、乙在丙的左边;
(3)甲、乙必须相邻;
(4)甲、乙、丙在一起;
(5)甲必须在排头;
(6)甲不在排头也不在排尾;
(7)甲不在排头、乙不在排尾.

答案： 13. 解：
(1)解法1(倍缩法) 不考虑甲、乙的顺序，有$A_{6}^{6}$种排法，甲、乙全排有$2!=2$(种)排法，所以甲在乙的左边的排法共有$\frac{A_{6}^{6}}{2}=360$(种).
解法2(空位法) 从6个位置中选择4个位置把除甲、乙之外的其余4人放入，共有$A_{6}^{4}$种排法，再将甲、乙按序排入余下的2个位置.因此共有$A_{6}^{4}×1 = 360$(种)排法.
(2)解法1(倍缩法) 不考虑甲、乙、丙的顺序，有$A_{6}^{6}$种排法，甲、乙、丙全排有$3!=6$(种)排法，所以甲在乙的左边、乙在丙的左边共有$\frac{A_{6}^{6}}{3!}=120$(种)排法.
解法2(空位法) 从6个位置中选择3个位置把除甲、乙、丙外的其余3人放入，共有$A_{6}^{3}$种排法，再将甲、乙、丙按序排入余下的3个位置，因此共有$A_{6}^{3}×1 = 120$(种)排法.
(3)解法1(捆绑法) 第1步，将甲、乙“捆绑”在一起当成一个元素与其他4名学生排列，有$A_{5}^{5}$种排法；第2步，排甲、乙，有$A_{2}^{2}$种排法，所以共有$A_{5}^{5}× A_{2}^{2}=240$(种)排法.
解法2(间接法、插空法) 当甲、乙不相邻时，第1步，先排列除甲、乙之外的4名学生，有$A_{4}^{4}$种排法；第2步，如图所示，在排好的4名学生的5个空隙中选择其中2个空隙排甲、乙，有$A_{5}^{2}$种排法，所以共有$A_{4}^{4}× A_{5}^{2}=480$(种)排法.所以甲、乙必须相邻的排法共有$A_{6}^{6}-480 = 240$(种).
　　　　　　xO×O×O×Ox
(4)(捆绑法)第1步，将甲、乙、丙“捆绑”在一起当成一个元素与其他3名学生排列，有$A_{4}^{4}$种排法；第2步，排甲、乙、丙，有$A_{3}^{3}$种排法.所以共有$A_{4}^{4}× A_{3}^{3}=144$(种)排法.
(5)先排甲，有1种排法，再排其他5人，有$A_{5}^{5}$种排法，所以共有$1× A_{5}^{5}=120$(种)排法.
(6)解法1(特殊元素法) 先排甲，有4种排法，再排其他5人，有$A_{5}^{5}$种排法，所以共有$C_{4}^{1}× A_{5}^{5}=480$(种)排法.
解法2(特殊位置法) 先排排头和排尾，有$A_{5}^{2}$种排法，再排其他4个位置，有$A_{4}^{4}$种排法，所以共有$A_{5}^{2}× A_{4}^{4}=480$(种)排法.
(7)对甲进行分类，第一类，甲在排尾，有$A_{5}^{5}=120$(种)排法；第二类，甲不在排尾，有$A_{4}^{1}× A_{5}^{1}× A_{5}^{4}=384$(种)排法，所以共有$384 + 120 = 504$(种)排法.

14. 如图,在下面的小三角形格子中填人1,2,3,4,5,6,7,8,9,要求每个格子中只能填一个数,每个数只能填一次,且阴影格子中所填数比与它相邻的白色格子中的数大,则共有8640种填法.

答案：
14. 8640 将阴影格子分别编号为A,B,C，如图所示，分情况讨论：当A,B,C为9,8,7时，有$A_{3}^{3}A_{6}^{3}=4320$(种)；当A,B,C为9,8,6时，7不能与6相邻，故有$A_{3}^{3}A_{4}^{1}A_{5}^{2}=2160$(种)；当A,B,C为9,8,5时，与5相邻的只能是4,3,2,1中的三个数，有$A_{3}^{3}A_{4}^{3}=864$(种)；当A,B,C为9,8,4时，与4相邻的只能是3,2,1三个数，有$A_{3}^{3}A_{3}^{3}=216$(种)；当A,B,C为9,7,6时，8与9相邻且8只有一种位置，故有$A_{3}^{3}A_{3}^{1}=720$(种)；当A,B,C为9,7,5时，8与9相邻且8只有一种位置，6不与5相邻且有2种位置选择，故有$A_{3}^{3}A_{2}^{1}A_{4}^{1}=288$(种)；当A,B,C为9,7,4时，8与9相邻且8只有一种位置，与4相邻的只能是3,2,1三个数，故有$A_{3}^{3}A_{3}^{3}=72$(种).所以共有$4320 + 2160 + 864 + 216 + 720 + 288+72 = 8640$(种).