《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

7. [2025 福建福州期末]某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学和物理学科
夏令营活动.
(1) 已知参加数学学科夏令营的 7 名中学生中恰有 3 人来自 A 中学,现从这 7 名中学
生中选取 3 名,求其中来自 A 中学的人数$X$的分布列和数学期望.
(2) 在夏令营活动中,物理学科举行了一次学科知识竞答活动,规则如下:两人一组,每
一轮竞答中,每人分别答两题,若小组答对题数不小于 3,则取得本轮胜利. 已知
甲、乙两位同学组成一组,甲、乙答对每道题的概率分别为$p_1,p_2$. 假设甲、乙两人
每次答题相互独立,且互不影响.
①求甲、乙两位同学所在组在每轮答题中取胜的概率$P$;
②当$p_1+p_2=\frac {4}{3}$时,求$P$的最大值.

答案： 7.解：
(1)由题意知，X的可能取值有0,1,2,3，
$P(X = 0)=\frac{C_4^4}{C_7^3}=\frac{4}{35}$，$P(X = 1)=\frac{C_4^3C_3^1}{C_7^3}=\frac{18}{35}$，$P(X = 2)=\frac{C_4^2C_3^1}{C_7^3}=\frac{12}{35}$，$P(X = 3)=\frac{C_3^3}{C_7^3}=\frac{1}{35}$，所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P $\frac{4}{35}$ $\frac{18}{35}$ $\frac{12}{35}$ $\frac{1}{35}$
所以$E(X)=0×\frac{4}{35}+1×\frac{18}{35}+2×\frac{12}{35}+3×\frac{1}{35}=\frac{9}{7}$.
(2)①由题意，设甲答对题数为X，则$X\sim B(2,p_1)$，
则$P = P(X - 1)P(\eta = 2)+P(X = 2)· P(\eta = 1)+P(X =2)P(\eta = 2)=C_2^1p_1(1 - p_1)C_2^2p_2^2 + C_2^2p_1^2C_2^1p_2(1 - p_2)+C_2^2p_1^2C_2^2p_2^2=-3p_1^2p_2^2 + 2p_1p_2^2 + 2p_1^2p_2$.
②因为$p_1 + p_2=\frac{4}{3}$，所以$P = - 3p_1^2p_2^2+\frac{8}{3}p_1p_2$.
因为$0\leq p_1\leq1,0\leq p_2\leq1$，又$p_1 + p_2=\frac{4}{3}$，所以$\frac{1}{3}\leq p_1\leq1$，
则$p_1p_2=p_1(\frac{4}{3}-p_1)=\frac{4}{3}p_1 - p_1^2$，
所以$p_1p_2\in[\frac{1}{3},\frac{4}{9}]$.
设$t = p_1p_2$，则$P = - 3t^2+\frac{8}{3}t=-3(t - \frac{4}{9})^2+\frac{16}{27}$.因为$t\in[\frac{1}{3},\frac{4}{9}]$，所以当$t=\frac{4}{9}$时，$P$取最大值$\frac{16}{27}$.