《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

3. [2024 河北石家庄期末]一个调查学生记忆力的研究团队从某中学随机挑选$100$名学生进行记忆测试，通过讲解$100$个陌生单词后，相隔十分钟进行听写作为测试内容，间隔时间$t$(分钟)和答对人数$Y$的统计表格如下：

时间$t$与答对人数$Y$和$\lg Y$的散点图如下：


附：$\sum_{i = 1}^{10}t_{i}^{2}=38500$，$\sum_{i = 1}^{10}y_{i}=342$，$\sum_{i = 1}^{10}\lg y_{i}=13.52$，$\sum_{i = 1}^{10}t_{i}y_{i}=10960$，$\sum_{i = 1}^{10}t_{i}\lg y_{i}=$
621.7，对于一组数据$(u_{1},v_{1})$，$(u_{2},v_{2})$，$·s$，$(u_{n},v_{n})$，其经验回归方程$\hat{v}=\hat{\alpha}+\hat{\beta}u$的斜率
和截距的最小二乘估计分别为$\hat{\beta}=\frac{\sum_{i = 1}^{n}u_{i}v_{i}-n\bar{u}\bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n}u_{i}^{2}-n\bar{u}^{2}}$，$\hat{\alpha}=\bar{v}-\hat{\beta}\bar{u}$.请根据表格数据回答下
列问题：
(1)根据散点图判断$y = at + b$与$\lg y = ct + d$哪个更适宜作为经验回归模型?(给出
判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果，建立$Y$与$t$的经验回归方程.($a,b$或$c,d$的计算结果均保留
到小数点后三位)
(3)请根据(2)估算要想答对人数不少于$75$人，至多间隔多少分钟需要重新记忆一遍.
(结果四舍五入保留整数)(参考数据：$\lg2\approx0.3$，$\lg3\approx0.48$)

答案： 解：
(1)观察两个散点图可知，$\lg y = ct + d$更适宜作为线
性回归类型.
(2)依题意，$\bar{t} = \frac{1}{10} × (10 + 20 + 30 + 40 + 50 + 60 + 70 +$
$80 + 90 + 100) = 55$,$\lg\bar{y} = \frac{1}{10}\sum_{i = 1}^{10}\lg y_{i} = 1.352$，由
(1)知，
$\lg\hat{y} = ct + d$，根据最小二乘法得$\hat{c} = \frac{\sum_{i = 1}^{10}t_{i}\lg y_{i} - 10\bar{t}\lg\bar{y}}{\sum_{i = 1}^{10}t_{i}^{2} - 10{\bar{t}}^{2}} =$
$\frac{621.7 - 10 × 55 × 1.352}{38500 - 10 × 55^{2}} \approx - 0.0148 \approx - 0.015$,$\hat{d} =$
$\lg\bar{y} - \hat{c}\bar{t} = 1.352 - ( - 0.0148) × 55 = 2.166$，于是$\lg\hat{y} =$
$- 0.015t + 2.166$，因此$Y$与$t$的经验回归方程为
$\hat{y} = 10^{- 0.015t + 2.166}$
高中数学小题狂做·选择性必修第三册·RA
(3)依题意，$y \geqslant 75$，即$10^{- 0.015t + 2.166} \geqslant 75$，则$- 0.015t +$
$2.166 \geqslant \lg 75$，而$\lg 75 = 2\lg 5 + \lg 3 = 2 - 2\lg 2 + \lg 3 \approx 1.88$，
于是$- 0.015t + 2.166 \geqslant 1.88$，解得$t \leqslant 19$，所以要想答对人数不
少于$75$人，至多间隔$19$分钟需要重新记忆一遍.