《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

1. 从 5 名学生中选出 3 名参加社团活动,其中甲入选的选法有
(C)

A.8 种
B.16 种
C.6 种
D.12 种

答案： 1. C 选法有$C_4^3=6$(种).

2. 教材变式 一个宿舍的 4 名同学受邀参加一个晚会,如果必须有人去,且甲、乙两名同学要么都去,要么都不去,那么不同去法的总数为
(B)

A.4
B.7
C.10
D.12

答案： 2. B 解法1 若甲、乙两名同学都去，则去的人数可能是2,3,4，所以满足条件的去法数为$C_2^2+C_4^1+C_4^2=4$；若甲、乙两名同学都不去，则去的人数可能是1,2，则满足条件的去法数为$C_2^1+C_2^2=3$，故该宿舍同学的去法共有$4+3=7$(种).
解法2 由于甲、乙两名同学要么都去，要么都不去，因此将甲、乙捆绑，则可认为三名同学受邀参加一个晚会，并且必须有人去，每个人有两种选择，则共有$2^3$种，而其中有一种情况是三名同学都不去，所以共有$2^3-1=7$(种)方案.
教材链接（选择性必修三习题6.2第14题改编）

3. 7 名身高各不相同的同学站成一排,若身高最高的同学站在中间,且其每一侧同学的身高都依次降低,则 7 名同学所有不同的站法种数为
(A)

A.20
B.40
C.8
D.16

答案： 3. A 让最高的同学站中间，再在剩余的6人中选择3人放在左边，剩余3人放在右边，共有$C_6^3=20$(种)站法.

4. 如图,湖面上有 4 座相邻的小岛 A,B,C,D,现要建 3 座桥梁,将这 4 个小岛连接起来,共有$m$种不同的方案,则$m$的值为
(D)

A.4
B.8
C.12
D.16

答案： 4. D 要把4座小岛连接起来，可以建设桥梁的位置共有$C_4^2=6$(个)，要建3座桥梁，则方案有$C_6^3=20$(种)，但AB，BD,DA；AC,CD,DA；BC,BD,CD；AB,BC,CA这4种建桥方式不满足题意，故总的建桥方案有$20-4=16$(种).

5. 如图,洛书(古称龟书),是阴阳五行术数之源,在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上有此图象,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中随机选取 4 个数,则选取的 4 个数之和为偶数的方法数为
(D)

A.60
B.61
C.65
D.66

答案： 5. D 由题意可知，阴数为2,4,6,8，阳数为1,3,5,7,9.若选取得4个数的和为偶数，则①4个数都为偶数，共有$C_4^4=1$(种)方法；②2个奇数，2个偶数，共有$C_5^2C_4^2=60$(种)方法；③4个数都为奇数，共有$C_5^4=5$(种)方法.综上，共有$1+60+5=66$(种)方法.

6. 根据某个福利彩票方案,每注彩票号码都是从 1~37 这 37 个数中选取 7 个数.如果选出的 7 个数与开出的 7 个数一样(不管排列顺序),彩票即中一等奖.若要将一等奖的中奖机会提高到$\frac {1} {3 000 000}$以上且不超过$\frac {1} {2 000 000}$,则在 37 个数中所选取数的个数应该为
(B)

A.5
B.6
C.7
D.5 或 6

答案： 6. B 由题可得中一等奖的机会为$\frac{1}{C_{37}^6}=\frac{1}{10295472}$.依题意，要提高中奖机会，则由$\frac{1}{C_{37}^6}=\frac{1}{2324784},\frac{1}{C_5^5}=\frac{1}{435897}$，知$\frac{1}{3000000}＜\frac{1}{C_{37}^6}＜\frac{1}{2000000}＜\frac{1}{C_5^5}$，所以$n=6$，即在37个数中选6个数.

7. 若$m,n$为正整数且$n＞m$,则下列等式正确的是
(AB).

A.$C_n^m = \frac {A_n^m} {A_m^m (n - m)!}$
B.$A_n^m + mA_n^{m - 1} = A_{n + 1}^m$
C.$C_2^2 + C_3^2 + C_4^2 + ·s + C_{2 023}^2 = C_{2 024}^2$
D.$m C_n^m = (n - 1) C_{n - 1}^{m - 1}$

答案： 7. AB A显然正确；$A_n^{m+1}+mA_n^m=A_n^{m+1}+\frac{n!}{(n-m)!}=\frac{(n-m+1)· n!}{(n-m+1)!}+\frac{m· n!}{(n-m+1)!}=\frac{(n+1)!}{(n-m+1)!}=A_{n+1}^{m+1}$，故B正确；因为$C_n^{-1}+C_n^1=C_n^1$，所以$C_2^{023}+C_4^{023}=C_3^{023}+·s+C_{2023}^{023}=C_3^{023}+C_3^{023}+·s+C_{2023}^{023}=·s=C_{2023}^{023}+C_{2023}^{023}=C_{2024}^{024}$，故C错误；$mC_n^m=m\frac{n!}{m!(n-m)!}=\frac{n!}{(m-1)!(n-m)!}=n\frac{(n-1)!}{(m-1)!(n-m)!}=n(n-1)C_{n-1}^{m-1}$，$(n-1)C_{n-1}^{m-1}=(n-1)\frac{(n-1)!}{(m-1)!(n-m)!}=\frac{(n-1)!}{(m-1)!(n-m)!}$，左右两边不相等，故D错误.

8. 教材变式 在正方体中,下列说法正确的是
(ABD)

A.正方体的 8 个顶点可以确定 28 条不同的线段
B.以正方体的顶点为顶点的直三棱柱有 12 个
C.以正方体的顶点为顶点的三棱锥有 64 个
D.以正方体的顶点为顶点的四棱锥有 48 个

答案： 8. ABD 对于A，每两点确定一条线段，则正方体的8个顶点可确定不同的线段有$C_8^2=28$(条)，故A正确；对于B，直三棱柱的两个底面平行并且三角形全等，因此直三棱柱两底面在正方体相对面上，以正方形的顶点为顶点的三角形有4个，从而正方体的一组相对面对应的直三棱柱有4个，因此以正方体的顶点为顶点的直三棱柱有$3×4=12$(个)，故B正确；对于C，正方体顶点任取4个点，共有$C_8^4=70$(种)选法，其中四点共面的共有6个面和6个对角面，共12种，因此三棱锥共有$70-12=58$(个)，故C错误；对于D，由选项C，知正方体四点共面的情况有12种，每一种情况，余下每个点对应1个四棱锥，因此四棱锥共有$12×4=48$(个)，故D正确.
教材链接（选择性必修三习题6.2第6题改编）