《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

1. 篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则是:命中得 1 分,不命中得 0 分.已知某篮球运动员罚球命中的概率为 0.8,设其罚球一次的得分为 $X$,则 (D)

A.$E(X)=0.5$,$D(X)=0.20$
B.$E(X)=0.5$,$D(X)=0.25$
C.$E(X)=0.8$,$D(X)=0.12$
D.$E(X)=0.8$,$D(X)=0.16$

答案： 1. D 依题意，$X$的分布列为
$\begin{matrix}X&0&1\\P&0.2&0.8\end{matrix}$
因此$E(X)=0 × 0.2 + 1 × 0.8 = 0.8$，$D(X)=(0 - 0.8)^2 × 0.2 + (1 - 0.8)^2 × 0.8 = 0.16$（或$D(X)=E(X^2)-(E(X))^2 = 0.8 - 0.8^2 = 0.16$）。
方法总结 由随机变量分布列求解离散性随机变量的方差的方法：①利用方差的定义；②利用公式$D(X)=E(X^2)-(E(X))^2$。

2. 若 $X$ 为离散型随机变量,则“$D(aX + b)=4D(X)$”是“$a=2$”的 (B)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 2. B 由$D(aX + b)=a^2D(X)=4D(X)$，解得$a = \pm 2$，则$D(aX + b)=4D(X)$是$a = 2$的必要不充分条件.

3. 高频导向 盒中装有 3 个黄球和 1 个红球,现从盒中每次随机取出 1 个球且不放回,直至取出红球.设在此过程中,取到黄球的个数为 $X$,则 $D(X)=$
(B)

A.1
B.$\frac{5}{4}$
C.$\frac{3}{2}$
D.2

答案： 3. B 由题意得，$X$的所有可能取值为$0,1,2,3$，$P(X = 0)=\frac{1}{4}$，$P(X = 1)=\frac{3}{4} × \frac{1}{3}=\frac{1}{4}$，$P(X = 2)=\frac{3}{4} × \frac{2}{3} × \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，$P(X = 3)=\frac{3}{4} × \frac{2}{3} × \frac{1}{2} × 1=\frac{1}{4}$，所以$X$的期望为$E(X)=0 × \frac{1}{4}+1 × \frac{1}{4}+2 × \frac{1}{4}+3 × \frac{1}{4}=\frac{3}{2}$，所以$D(X)=\frac{1}{4} ×[(0 - \frac{3}{2})^2+(1 - \frac{3}{2})^2+(2 - \frac{3}{2})^2+(3 - \frac{3}{2})^2]=\frac{5}{4}$。

4. 设随机变量 $X$ 的分布列如下(其中 $0＜p＜1$),$D(X)$ 表示 $X$ 的方差,则当 $p$ 从 0 增大到 1 时,



A.$D(X)$ 增大
B.$D(X)$ 减小
C.$D(X)$ 先减后增
D.$D(X)$ 先增后减

答案： 4. D 由分布列可得$E(X)=0 × \frac{1 - p}{2}+1 × \frac{1}{2}+2 × \frac{p}{2}=\frac{1}{2}+p$，则$D(X)=\frac{1 - p}{2}(\frac{1}{2}+p)^2+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+p - 1)^2+\frac{p}{2}(\frac{1}{2}+p - 2)^2=-p^2 + p + \frac{1}{4}=-(p - \frac{1}{2})^2+\frac{1}{2}$。因为$0 ＜ p ＜ 1$，所以$D(X)$先增后减.

5. 投掷 2 枚均匀的骰子,记其中所得点数为 1 的骰子的个数为 $X$,则方差 $D(X)=$ (A)

A.$\frac{5}{18}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{5}{3}$
D.$\frac{5}{36}$

答案： 5. A $X$的分布列为
$\begin{matrix}X&0&1&2\\P&\frac{25}{36}&\frac{10}{36}&\frac{1}{36}\end{matrix}$
故$E(X)=\frac{10 + 2}{36}=\frac{1}{3}$，$D(X)=(0 - \frac{1}{3})^2 × \frac{25}{36}+(1 - \frac{1}{3})^2 × \frac{10}{36}+(2 - \frac{1}{3})^2 × \frac{1}{36}=\frac{5}{18}$。

6. 教材变式 投资 A,B 两种股票,每股收益的分布列如下表:
股票 A 收益分布列


股票 B 收益分布列

下列说法正确的是 (D)

A.投资股票 A 的期望收益较小
B.投资股票 B 的期望收益较小
C.投资股票 A 的风险比投资股票 B 的风险小
D.投资股票 B 的风险比投资股票 A 的风险小

答案： 6. D 股票 A 收益$X$的期望为$E(X)= - 2 × 0.1 + 0 × 0.3 + 2 × 0.6 = 1$，方差为$D(X)=(-2 - 1)^2 × 0.1+(0 - 1)^2 × 0.3+(2 - 1)^2 × 0.6 = 1.8$；股票 B 收益$Y$的期望为$E(Y)=0 × 0.3 + 1 × 0.4 + 2 × 0.3 = 1$，方差为$D(Y)=(0 - 1)^2 × 0.3+(1 - 1)^2 × 0.4+(2 - 1)^2 × 0.3 = 0.6$。所以$E(X)=E(Y)$，$D(X)＞D(Y)$，投资股票 A 的期望收益等于投资股票 B 的期望收益，投资股票 B 的风险比投资股票 A
高中数学小题狂做·选择性必修第三册·RA
的风险小
教材链接（选择性必修三习题 7.3 第 7 题改编）