《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

7. (教材变式) 现有甲、乙、丙三台车床加工同一种零件，甲车床加工的次品率为 8％，乙车床加工的次品率为 6％，丙车床加工的次品率为 5％，加工出来的零件混放在一起，且甲、乙、丙 3 台车床加工的零件数分别占总数的 30％，40％，30％，设事件$A_1$，$A_2$，$A_3$分别表示取到的零件来自甲、乙、丙车床，事件 B 表示取到的零件为次品，则下列结论正确的是
(ACD)

A.$P(A_2B)=0.024$
B.$P(B|A_3)=0.015$
C.$P(B)=0.063$
D.$P(A_1|B)=\frac{8}{21}$

答案： 7. ACD 对于A,$P(A_2B)=P(B|A_2)P(A_2)=0.06×0.40=$
$0.024$,故A正确;对于B,因为事件$B|A_3$可理解为在确定产
品是丙机床生产的条件下得到该产品为次品，所以
$P(B|A_3)=5\%$,故B错误;对于C,$P(B)=P(BA_1)+P(BA_2)+$
$P(BA_3)=P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)· P(A_2)+$
$P(B|A_3)P(A_3)=0.08×0.30+0.06×0.40+0.05×$
$0.30=0.024+0.024+0.015=0.063$,故C正确;对于D,
$P(A_1|B)=\frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)}=\frac{0.30×0.08}{0.063}=\frac{8}{21}$,故D正确.
教材链接 (选择性必修三7.1.2例5改编)

8. 下列等式一定成立的是
(ACD)

A.$P(A)=P(B)P(A|B)+P(\overline{B})P(A|\overline{B})$
B.$P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(\overline{B}|A)$
C.$P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)(P(AB)＞0)$
D.$P(A_1A_2A_3·s A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)·s P(A_n|A_1A_2·s A_{n - 1})(P(A_1A_2)＞0)$

答案： 8. ACD 由全概率公式和条件概率的乘法公式知A,C,D
正确.

9. 甲箱中有 5 个红球、2 个白球和 3 个黑球，乙箱中有 4 个红球、3 个白球和 3 个黑球. 先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以事件$A_1$，$A_2$，$A_3$表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以事件 B 表示由乙箱中取出的球是红球.
则下列结论正确的是
(BD)

A.$P(B)=\frac{2}{5}$
B.$P(B|A_1)=\frac{5}{11}$
C.事件 B 与事件$A_1$相互独立
D.$A_1$，$A_2$，$A_3$两两互斥

答案： 9. BD 因为只取一球，所以$A_1,A_2,A_3$是两两互斥的事件，
故D正确;因为$P(A_1)=\frac{5}{10}$,$P(A_2)=\frac{2}{10}$,$P(A_3)=\frac{3}{10}$,所以
$P(B|A_1)=\frac{P(BA_1)}{P(A_1)}=\frac{\frac{5}{10}×\frac{5}{11}}{\frac{5}{10}}=\frac{5}{11}$,故B正确;同理
$P(B|A_2)=\frac{P(BA_2)}{P(A_2)}=\frac{\frac{2}{10}×\frac{4}{11}}{\frac{2}{10}}=\frac{4}{11}$,$P(B|A_3)=\frac{P(BA_3)}{P(A_3)}=$
$\frac{\frac{3}{10}×\frac{4}{11}}{\frac{3}{10}}=\frac{4}{11}$,所以$P(B)=P(BA_1)+P(BA_2)+P(BA_3)=$
$\frac{5}{10}×\frac{5}{11}+\frac{2}{10}×\frac{4}{11}+\frac{3}{10}×\frac{4}{11}=\frac{9}{22}$,故A,C错误.

10. 已知 A，B 为某随机试验的两个事件，$\overline{A}$为事件 A 的对立事件. 若$P(A)=\frac{2}{3}$，$P(B)=\frac{5}{8}$，$P(AB)=\frac{1}{2}$，则$P(B|\overline{A}) =$$\frac{3}{8}$.

答案： 10.$\frac{3}{8}$因为$P(B)=P(AB)+P(\overline{A}B)$,所以$P(\overline{A}B)=$
$P(B)-P(AB)=\frac{5}{8}-\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$.又$P(\overline{A})=\frac{1}{3}$,所
以$P(B|\overline{A})=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{3}}=\frac{3}{8}$.

11. 已知甲抽屉放有某款圆球笔，其中 2 支红色、2 支蓝色、1 支黑色，乙抽屉放有同款圆球笔，其中$x$支红色($x \in \mathbf{N}$)、3 支蓝色、2 支黑色，现从甲抽屉里随机取出一支笔放入乙抽屉，再从乙抽屉里随机取出一支笔，若从甲抽屉中取出的笔和从乙抽屉中取出的笔是同一种颜色的概率大于或等于$\frac{5}{12}$，则$x$的最大值为6.

答案： 11. 6 设“第一次从甲抽屉里取出红色、蓝色、黑色笔”的事件
分别为$A_1,A_2,A_3$,“从甲抽屉中取出的笔和从乙抽屉中取出的
笔是同一种颜色”的事件为B,则$P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+$
$P(A_2)P(B|A_2)+P(A_3)P(B|A_3)=\frac{2}{5}·\frac{x+1}{x+6}+\frac{2}{5}·$
$\frac{4}{x+6}+\frac{1}{5}·\frac{3}{x+6}=\frac{2x+13}{5(x+6)}\geq\frac{5}{12}$,解得$x\leq6$,则$x$的最大值
为6.

12. (教材变式) 某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为 1,2,3,4 四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子. 当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会从另外三个箱子中随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率. 已知甲先选择了 1 号箱子，此时主持人打开 2 号箱子的概率为$\frac{1}{3}$，在主持人打开 2 号箱子的情况下，奖品在 4 号箱子的概率为$\frac{3}{8}$.

答案： 12.$\frac{1}{3}\frac{3}{8}$用$A_i(i=1,2,3,4)$表示$i$号箱有奖品，用$B_i$
表示主持人打开$i$号箱子，由题知$P(B_2|A_1)=\frac{1}{3}$,
$P(B_2|A_2)=0$,$P(B_2|A_3)=\frac{1}{2}$,$P(B_2|A_4)=\frac{1}{2}$,又$P(A_1)=$
$P(A_2)=P(A_3)=P(A_4)=\frac{1}{4}$,所以$P(B_2)=$
$\sum_{i=1}^{4}P(A_i)P(B_2|A_i)=\frac{1}{4}×\frac{1}{3}+\frac{1}{4}×0+\frac{1}{4}×\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×$
$\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$,故$P(A_4|B_2)=\frac{P(A_4B_2)}{P(B_2)}=\frac{P(A_4)P(B_2|A_4)}{P(B_2)}=$
$\frac{\frac{1}{4}×\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}}=\frac{3}{8}$.
教材链接 (选择性必修三7.1.2阅读与思考改编)