《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

1. 教材变式 某个班级的46名学生中，有男生26名，女生20名，且男生中有18名团员，女生中有16名团员.在该班随机选取1名学生，在选到的是团员的条件下，选到的是男生的概率为
(D)

A.$\frac{17}{23}$
B.$\frac{9}{13}$
C.$\frac{13}{17}$
D.$\frac{9}{17}$

答案： 1. D 记事件$A$为“选到团员”，事件$B$为“选到男生”，则$n(A)=18 + 16 = 34$，$n(AB)=18$，所以$P(B|A)=\frac{n(AB)}{n(A)} = \frac{18}{34}=\frac{9}{17}$。
教材链接（选择性必修三7.1.1问题1改编）

2. 某人忘记了一串电话号码的最后一个数字，只好去试拨，则他第一次失败、第二次成功的概率是
(A)

A.$\frac{1}{10}$
B.$\frac{1}{5}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{9}{10}$

答案： 2. A 设事件$A$为“第一次失败”，事件$B$为“第二次成功”，
则$P(A)=\frac{9}{10}$，$P(B|A)=\frac{1}{9}$，所以$P(AB)=P(A)· P(B|A)=\frac{1}{10}$。

3. 已知某同学在高二数学期末考试中，同时答对甲和乙两道选择题的概率为$\frac{3}{5}$，在答对甲题的情况下，乙题也被答对的概率为$\frac{7}{10}$，则该同学答对甲题的概率为
(D)

A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{5}{7}$
D.$\frac{6}{7}$

答案： 3. D 设答对甲题为事件$A$，答对乙题为事件$B$，由题意得$P(AB)=\frac{3}{5}$，$P(B|A)=\frac{7}{10}$，所以$P(A)=\frac{P(AB)}{P(B|A)}=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{7}{10}}=\frac{6}{7}$。

4. 要从由$n$名成员组成的小组中任意选派3人去参加某次社会调查.若在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为0.4，则$n$的值为
(C)

A.4
B.5
C.6
D.7

答案： 4. C 依题意，在男生甲被选中的情况下，只需要从其余$(n - 1)$人中选出2人.在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中，则需从其余$(n - 2)$人中选1人即可，故$\frac{C_{n - 2}^{1}}{C_{n - 1}^{2}} = 0.4$，解得$n = 6$。

5. 质数又称素数，若一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.例如，3和5,5和7，…，若我们在不超过32的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件$A$=“这两个数都是素数”，事件$B$=“这两个数不是孪生素数”，则$P(B|A)=$
(A)

A.$\frac{10}{11}$
B.$\frac{9}{11}$
C.$\frac{13}{15}$
D.$\frac{41}{45}$

答案： 5. A 不超过32的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，31，共11个，孪生素数有3和5,5和7,11和13,17和19,29和31，共5种情况，所以$n(A)=C_{11}^{2}=55$，$n(AB)=C_{11}^{2}-5 = 50$，所以$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{n(AB)}{n(A)}=\frac{10}{11}$。
方法总结$P(B|A)$表示事件$B$在“事件$A$已发生”这个附加条件下发生的概率.用定义法求条件概率，先计算$P(A)$，$P(AB)$，再代入公式$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$；用缩减法求条件概率，首先明确的是“在谁发生的前提下谁发生的概率”，其次用缩减样本空间的观点转换样本空间，即把给定事件$A$所含的样本点定义为新的样本空间，则待求事件$B$便缩小为事件$AB$，则$P(B|A)=\frac{n(AB)}{n(A)}$。

6. 教材变式 在一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次不放回地摸2个球，则在摸出的第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率为
(D)

A.$\frac{3}{10}$
B.$\frac{4}{9}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{5}{9}$

答案： 6. D 解法1 设“摸出的第一个球是红球”为事件$A$，“摸出的第二个球是黄球”为事件$B$，“摸出的第二个球是黑球”为事件$C$，则$P(A)=\frac{1}{10}$，$P(AB)=\frac{1×2}{10×9}=\frac{1}{45}$，$P(AC)=\frac{1×3}{10×9}=\frac{1}{30}$，所以$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{45}}{\frac{1}{10}}=\frac{2}{9}$，$P(C|A)=\frac{P(AC)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{30}}{\frac{1}{10}}=\frac{1}{3}$，又$B$与$C$互斥，所以$P(B\cup C|A)=P(B|A)+P(C|A)=\frac{2}{9}+\frac{1}{3}=\frac{5}{9}$，即所求的条件概率为$\frac{5}{9}$。
解法2 因为$n(A)=1× C_{9}^{1}=9$，$n[(B\cup C)\cap A]=C_{2}^{1}+C_{3}^{1}=5$，所以$P(B\cup C|A)=\frac{5}{9}$，即所求的条件概率为$\frac{5}{9}$。
方法总结 当所求事件的概率较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互斥的较简单的事件之和，求出这些较简单事件的概率，如利用$P(B\cup C|A)=P(B|A)+P(C|A)$便可求得所求事件的概率，但应注意这个公式在“$B$与$C$互斥”这一前提下才成立。
教材链接（选择性必修三7.1.1练习第3题改编）

7. 为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动.决赛准备了3道选择题和2道填空题，每位参赛者从5道题中不放回地随机抽取两次，每次抽取1题作答.设事件$A$为“第1次抽到选择题”，事件$B$为“第2次抽到选择题”，则下列结论正确的是
(AB)

A.$P(A)=\frac{3}{5}$
B.$P(AB)=\frac{3}{10}$
C.$P(B|A)=\frac{2}{5}$
D.$P(\overline{B}|\overline{A})=\frac{1}{2}$

答案： 7. AB 对于选项A，由题易知$P(A)=\frac{3}{5}$，故A正确；对于选项B，从5道题中不放回地随机抽取两次，均抽到选择题，故$P(AB)=\frac{3}{5}×\frac{2}{4}=\frac{3}{10}$，故B正确；对于选项C，$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{3}{10}}{\frac{3}{5}}=\frac{1}{2}$，故C错误；对于选项D，因为$P(A)=\frac{3}{5}$，所以$P(\overline{A})=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$，又$P(\overline{A}B)=\frac{2}{5}×\frac{3}{4}=\frac{3}{10}$，所以$P(B|\overline{A})=\frac{P(\overline{A}B)}{P(A)}=\frac{\frac{3}{10}}{\frac{3}{5}}=\frac{3}{4}=\frac{3}{10}×\frac{5}{2}=\frac{3}{4}$，故D错误。