《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

14. 多选题 假设变量$x$与变量$Y$的$n$对观测数据为$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，$·s$，$(x_n,y_n)$，两个变量满足一元线性回归模型$\begin{cases}Y = bx + e,\\E(e) = 0,D(e) = \sigma^2.\end{cases}$要利用成对样本数据求参数$b$的最小二乘估计$\hat{b}$，即求使$Q(b) = \sum_{i = 1}^{n}(y_i - bx_i)^2$取最小值时的$b$的值，若某汽车品牌 2020～2024 年的年销售量为$w$(万辆)，其中年份对应的代码$t$为 1～5，如下表：

年份代码$t$ 1 2 3 4 5
销售量$w$/万辆 4 9 14 18 25
根据散点图和样本相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述. 令变量$x = t - \bar{t}$，$Y = w - \bar{w}$，且变量$x$与变量$Y$满足一元线性回归模型$\begin{cases}Y = bx + e,\\E(e) = 0,D(e) = \sigma^2,\end{cases}$则下列结论正确的有

A.$\bar{x} = 0$
B.$\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{5}x_iy_i}{\sum_{i = 1}^{5}y_i^2}$
C.$\hat{w} = 5.1t - 1.3$
D.2025 年的年销售量约为 34.4 万辆

答案： 14. AC 由$x_i = t_i - \bar{t}$，可得$\bar{x}=\frac{1}{5}\sum_{i = 1}^{5}(t_i - \bar{t})=\frac{1}{5}\sum_{i = 1}^{5}\bar{t}-\bar{t}=0$，同理由$y_i = w_i - \bar{w}$，可得$\bar{y}=\frac{1}{5}\sum_{i = 1}^{5}(w_i - \bar{w})=\frac{1}{5}\sum_{i = 1}^{5}w_i-\bar{w}=0$，根据公式$\hat{b}=\frac{\sum_{i = 1}^{5}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{5}(x_i - \bar{x})^2}=\frac{\sum_{i = 1}^{5}x_iy_i - 5\bar{x}\bar{y}}{\sum_{i = 1}^{5}x_i^2}=\frac{\sum_{i = 1}^{5}x_iy_i}{\sum_{i = 1}^{5}x_i^2}$，故A正确，B错误；由表格中数据可得$\bar{t}=3$，$\bar{w}=14$，$\sum_{i = 1}^{5}x_iy_i=\sum_{i = 1}^{5}(t_i - \bar{t})(w_i - \bar{w})=\sum_{i = 1}^{5}t_iw_i - 5\bar{t}\bar{w}=1×4 + 2×9 + 3×14 + 4×18 + 5×25 - 5×3×14 = 51$，$\sum_{i = 1}^{5}x_i^2=\sum_{i = 1}^{5}(t_i - \bar{t})^2=\sum_{i = 1}^{5}t_i^2 - 5\bar{t}^2=1 + 4 + 9 + 16 + 25 - 5×9 = 10$，所以$\hat{b}=\frac{\sum_{i = 1}^{5}x_iy_i}{\sum_{i = 1}^{5}x_i^2}=\frac{51}{10}=5.1$，由于$\bar{x}=0$，$\bar{y}=0$，所以$Y$与$x$的经验回归方程过原点，$\hat{y}=5.1x$，又由于$x = t - \bar{t}=t - 3$，$y = w - \bar{w}=w - 14$，代入$\hat{y}=5.1x$得$w - 14 = 5.1(t - 3)$，整理得$w = 5.1t - 1.3$，故C正确；当$t = 6$，即表示2025年，此时$\hat{w}=5.1×6 - 1.3 = 29.3$，所以2025年的年销售量约为29.3万辆，故D错误.