《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

1. 设随机变量$X\sim B(8,p)$，且$D(X)=1.28$，则$p=$
(C)

A.0.2
B.0.8
C.0.2或0.8
D.0.16

答案： 1. C 依题意得$8p(1-p)=1.28$，即$p^{2}-p+0.16=0$，解得$p=0.2$或$p=0.8$。

2. 已知随机变量$\xi,\eta$满足$\xi+\eta=8$，若$\xi\sim B(10,0.4)$，则$E(\eta),D(\eta)$分别是 (A)

A.4和2.4
B.2和2.4
C.6和2.4
D.4和5.6

答案： 2. A 因为$\xi\sim B(10,0.4)$，所以$E(\xi)=10×0.4=4$，$D(\xi)=10×0.4×0.6=2.4$.又$\eta=8-\xi$，所以$E(\eta)=E(8-\xi)=8-E(\xi)=4$，$D(\eta)=D(8-\xi)=D(\xi)=2.4$.

3. 已知一个箱子里装有2个黑球和3个白球，随机从箱子中摸出1个球再放回，若摸出黑球记2分，摸出白球记－1分，则摸球10次所得总分数$\xi$的期望为
(A)

A.2
B.4
C.6
D.8

答案： 3. A 设10次摸球出现黑球的次数为$X$，则$X\sim B\left(10,\frac{2}{5}\right)$，且$E(X)=10×\frac{2}{5}=4$，所得总分数$\xi=2X+(10-X)×(-1)=3X-10$，所以$E(\xi)=3E(X)-10=2$.

4. 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是$\frac{1}{2}$外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是$\frac{2}{3}$.假设各局比赛结果相互独立，则甲队以$3:2$获得比赛胜利的概率为
(B)

A.$\frac{2}{81}$
B.$\frac{4}{27}$
C.$\frac{8}{27}$
D.$\frac{16}{81}$

答案： 4. B 甲队以$3:2$获得比赛胜利是指前四局比赛甲、乙两队$2:2$平，第五局比赛甲胜，所以甲队以$3:2$获得比赛胜利的概率$P=\mathrm{C}_{4}^{2}×\left(\frac{2}{3}\right)^{2}×\left(1-\frac{2}{3}\right)^{2}×\frac{1}{2}=\frac{4}{27}$.

5. 在足球比赛中，门将扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也只有$\frac{1}{2}$的可能性扑到球.若不考虑其他因素，在点球大战中，门将在前四次扑出点球的个数$X$的期望为
(C)

A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.2

答案： 5. C 依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为$p=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$，门将在前四次扑出点球的个数$X$满足$X\sim B\left(4,\frac{1}{6}\right)$，所以期望$E(X)=4×\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$.

6. 若有10道选择题，每道题有4个选项，其中只有1个正确，某同学由于时间安排不当来不及仔细答题，只能从每题的4个选项中任意选取1个答案，则该同学最有可能答对的题目数量为
(B)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 6. B 解法1 设该同学答对的题数为$X$，则$P(X=k)=\mathrm{C}_{10}^{k}\left(\frac{1}{4}\right)^{k}\left(\frac{3}{4}\right)^{10-k}\ (k\in\mathrm{N},0\leq k\leq10)$.要使其概率最大，必有$\begin{cases}\mathrm{C}_{10}^{k}\left(\frac{1}{4}\right)^{k}\left(\frac{3}{4}\right)^{10-k}\geq\mathrm{C}_{10}^{k-1}\left(\frac{1}{4}\right)^{k-1}\left(\frac{3}{4}\right)^{11-k}\\ \mathrm{C}_{10}^{k}\left(\frac{1}{4}\right)^{k}\left(\frac{3}{4}\right)^{10-k}\geq\mathrm{C}_{10}^{k+1}\left(\frac{1}{4}\right)^{k+1}\left(\frac{3}{4}\right)^{9-k}\end{cases}$，解得$\frac{7}{4}\leq k\leq\frac{11}{4}$，故$k=2$.
解法2 设该同学答对的题数为$X$，依题意，$X\sim B\left(10,\frac{1}{4}\right)$，则$P(X=k)=\mathrm{C}_{10}^{k}\left(\frac{1}{4}\right)^{k}·\left(\frac{3}{4}\right)^{10-k}\ (0\leq k\leq10,k\in\mathrm{N})$.当$P(X=k)$取得最大值时，由$\frac{P(X=k + 1)}{P(X=k)}=\frac{\mathrm{C}_{10}^{k+1}\left(\frac{1}{4}\right)^{k+1}\left(\frac{3}{4}\right)^{10-k-1}}{\mathrm{C}_{10}^{k}\left(\frac{1}{4}\right)^{k}\left(\frac{3}{4}\right)^{10-k}}=\frac{1}{3}·\frac{10-k}{k+1}\leq1$，得$k\geq\frac{7}{4}$，所以$k=2$.

7. 某中学组织了足球射门比赛，规定每名同学有5次射门机会，踢进一球得4分，没踢进得0分.小明参加比赛且没有放弃任何一次射门机会，每次踢进的概率为$\frac{2}{3}$，每次射门相互独立. 记$X$为小明得分总和，$\xi$为小明踢进球的次数，则下列结论正确的是(
)

A.$E(\xi)=\frac{10}{3}$
B.$P(X=4)=C_{5}^{4}(\frac{2}{3})^{4}×(1-\frac{2}{3})$
C.$E(X)=\frac{40}{3}$
D.$D(X)=\frac{49}{9}$

答案： 7. AC 由题意得，$\xi\sim\left(5,\frac{2}{3}\right)$，因此$E(\xi)=5×\frac{2}{3}=\frac{10}{3}$，故A正确；$P(X=4)=P(\xi=1)=\mathrm{C}_{5}^{1}×\frac{2}{3}×\left(1-\frac{2}{3}\right)$，故B错误；由题意得$X=4\xi$，则$E(X)=E(4\xi)=4E(\xi)=4×\frac{10}{3}=\frac{40}{3}$，故C正确；$D(\xi)=5×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{10}{9}$，$D(X)=D(4\xi)=16D(\xi)=16×\frac{10}{9}=\frac{160}{9}$，故D错误.